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第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 课时1 勾股定理的逆定理
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程；
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
勾股定理知识点回顾
勾股定理的内容：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a +b =c .
几何描述：
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：a +b =c
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距高的13个结,城后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,如图.这样围成的三角形中,最长边所对的角就是直角，你知道为什么吗
这就是我们今天学习的勾股定理的逆定理.
2.用圆规、直尺作△ABC,使AB=5,AC=4，BC=3,量一量∠C,它是 90°吗
是
4
3
5
A
B
C
3.△ABC的三边长满足AC2+BC2=AB2,则ㄥC为多少度
90°
A
B
C
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，
则A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 +b2
∵ a2+b2=c2 ∴ A′B′2 =c2 则A′B′=c
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C= ∠C′=90°
∴ △ABC是直角三角形
A
B
C
A′
B′
C′
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a +b =c
∴△ABC是直角三角形
例1 根据下列三角形的三边长a,b,c的值,判断△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角.
(1)a=7,b=24,c=25;
(2)a=7,b=8,c=11.
解(1)∵ 72+242=252
∴ a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形,最大边c所对的角是直角
例1 根据下列三角形的三边长a,b,c的值,判断△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角.
(1)a=7,b=24,c=25;
(2)a=7,b=8,c=11.
(2)最大边是c=11，c2=121
a2 +b2 =72 +82 =113
∴ a2+b2≠c2
∴△ABC不是直角三角形
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数.
比如：3，4，5；5，12，13.
判断直角三角形的方法
用角判断：
1.两个锐角互余 的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a +b =c ）进行判断.
1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( 　)
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
B
2．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3；
B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15；
D．a＝13， b＝14 ，c＝15
A
3．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（ ）.
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
A
4．一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______．
【详解】∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h cm．
S=×5×12=×13×h，解得：h =．
故答案为：．
5.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
（1）a=15 ，b=8 ，c=17
（2）a=13 ，b=14 ，c=15
解：（1）∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
（2）∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数.比如:3，4，5; 5,12,13 .

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