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第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 课时2 勾股定理的逆定理的实际应用
1.巩固和熟练掌握勾股定理的逆定理；
2.灵活运用勾股定理和逆定理解决实际问题.
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
N
E
P
Q
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1
2
勾股定理的逆定理知识点回顾
勾股定理的逆定理的内容：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a +b =c
∴△ABC是直角三角形
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
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解：根据题意，
PQ=16×1.5=24
PR=12×1.5=18
QR=30
∵ ，即
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°= 45°
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
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3
4
13
12
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，求四边形ABCD的面积即求两个三角形面积的和.
解：连接AC,
在Rt△ABC中，AC==5
在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
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例2 已知:在△ABC中,三边长分别为a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1).
求证:△ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2 =(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2 +1
=(n2 +1)2
=c2
∴ △ABC 为直角三角形.
例3 如图,营地A与哨所B相距10km,东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6km到达河边C处让马饮水,再走8km到达哨所B处执勤,最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗
解 由题意,得AB=10km，AC=6km，BC=8km
∵ 62+82=102,
∴ AC2+BC2 =AB2
∴ ∠ACB =90°
又∵ AD∥PQ
∴ ∠ACP=∠DAC =34°.
∴ ∠BCQ=180°- 90°- 34°= 56°
答:哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处.
1、在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　 ）
A．8 B．9 C． D．10
C
2．三角形的三边长a，b，c满足关系式:
（a+2b﹣60）2+|b﹣18|+=0，则这个三角形是（　 　）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
D
3.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
D
A
B
C
3
4
13
12
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
4．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入多少元？
解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132 BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
将实际问题转化为几何图形问题，利用勾股定理的逆定理证明是直角转化为我们熟悉的直角三角形等图形.

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