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广东省广州市天河区天省实验学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·天河月考）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·天河月考）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·天河月考）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
4．（2025八上·天河月考）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·天河月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·天河月考）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条高所在直线交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形的重心是三边中垂线交点
D．等腰三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自互相重合
7．（2025八上·天河月考）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不变
8．（2025八上·天河月考）如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2025八上·天河月考）已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·天河月考）如图，在中，，为线段上一定点，为线段上一动点．当点在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·天河月考）如果，关于轴对称，则　 　．
12．（2025八上·天河月考）已知， 则=　 　．
13．（2025八上·天河月考）因式分解： 　 　。
14．（2025八上·天河月考）如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则　 　．
15．（2025八上·天河月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为　 　．
16．（2025八上·天河月考）如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为　 　．
17．（2025八上·天河月考）化简：
（1）；
（2）．
18．（2025八上·天河月考）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
19．（2025八上·天河月考）先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值．
20．（2025八上·天河月考）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于 E，交直线于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，，交于点O，若平分，请在（1）的基础上说明．
21．（2025八上·天河月考）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出关于直线MN对称的；
（2）的面积为　 　．
（3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
22．（2025八上·天河月考）观察图形，解决问题：
（1）如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；
（2）当时，求的值；
（3）如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积．
23．（2025八上·天河月考）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
24．（2025八上·天河月考）【问题背景】如图，在与中，若，，．求证：；
【尝试运用】如图，在和中，，，，，延长交于点．求证：为的中点；
【拓展创新】如图，在中，，，边上的高为，点是直线上一动点，连接、在直线的右侧作等边，连接，则的最小值__________．
25．（2025八上·天河月考）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．
（1）请写出a和b的数量关系；
（2）如图2，点D为的中点，点P为y轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为的中点，连接，过点B作，且，连接交于点P，过点F作轴交的延长线于点M，
①求证：P为的中点；
②求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选A．
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的核心要求是分母不能为零，针对分式，需保证分母，解这个简单不等式就能得到的取值范围。
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意；
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
故答案为：
【分析】根据三角形全等的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故A选项错误；
B选项：，，的指数不同，不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C选项： 和不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方可得：，故D选项正确．
故选：D．
【分析】本题考查整式的运算性质，涵盖同底数幂相乘、同类项合并、积的乘方等知识点。同底数幂相乘需遵循“底数不变，指数相加”，据此判断A选项；同类项需满足所含字母相同且相同字母指数一致，以此判断B、C选项能否合并；积的乘方要将每个因式分别乘方再相乘，通过这一规则验证D选项的正确性。
6．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，该性质成立，故A正确；B、三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和，因此大于任何一个不相邻的内角，但未必大于相邻内角（如钝角三角形中钝角的外角小于该钝角），故B错误；
C、三角形的重心是三条中线的交点，而三边中垂线的交点是外心，故C错误；
D、等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线互相重合，并非所有高、中线、角平分线都重合，故D错误；
故选：A．
【分析】本题考查三角形的基本性质，包括高、外角、重心及等腰三角形的特性。三角形三条高所在直线必然交于一点，这是高的核心性质；三角形外角仅大于不相邻的内角，而非所有内角；重心是三条中线的交点，中垂线交点是外心；等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线重合，腰上的不重合，根据这些性质逐一判断选项。
7．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
所以如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．
故答案为：A．
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质"分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变" 进行化简即可求解．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=12，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD=ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD=AB=12，BD=CE，
∵CD=3BD，
∴CE=BD=4，
∴AE=AC-CE=12-4=8．
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到∠B=∠C，进而进行角的运算得到∠BAD=∠CDE，根据垂直平分线的性质得到AD=ED，再根据三角形全等的判定与性质证明△ABD≌△DCE（AAS）得到CD=AB=12，BD=CE，再进行线段的运算即可求解。
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，且，
等式两边除以，可得：，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查分式化简求值与完全平方公式的应用，由且，两边除以可得；利用完全平方公式，代入可求出；将所求分式取倒数，化简为，代入，即可得到原分式的值。
10．【答案】C
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；胡不归模型
【解析】【解答】解：如图，作射线，使得，过点作交于点，
∴，，
过点作交于点，则当点为与的交点时，有最小值，
此时，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】作射线，使得，过点作交于点，先证出过点作交于点，则当点为与的交点时，有最小值，再求出，最后利用角的运算求出即可．
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点可知，a=-2，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
12．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】
=
=3×5
=15
故答案为15
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意相乘即可求解。
13．【答案】4(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=4（-4）
=4(a+2)(a-2)
故答案为4(a+2)(a-2)
【分析】根据因式分解时有公因式先提公因式，之后再考虑用公式法分解因式。此题用平方出公式即可因式分解。
14．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，设与相交于点M，与相交于点M，
∵，，
∴，
，
∵将纸片先沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】设与相交于点M，与相交于点M，根据题意进行角的运算得到，再根据折叠得到，进而结合题意进行角的运算即可求解。
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当是锐角三角形时，，如图，，
∵，
∴，
∴
当是钝角三角形时，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，需分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论。当为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，与另一腰夹角为，利用直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等求出底角；当为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，与另一腰延长线夹角为，利用三角形外角性质求出顶角，进而求出底角。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
∴，
，
为等腰三角形，，
为等腰三角形，，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故答案为：．
【分析】在内作，且使得，连，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据等腰三角形的判定与性质结合题意得到，再进行角的运算结合等边三角形的判定与性质得到，延长CE交AD于F点，从而进行角的运算结合三角形的外角即可求解。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据题意先计算整式的乘方，进而进行乘除运算，从而合并同类项即可求解；
（2）先根据平方差和完全平方公式进行运算，进而去括号，再合并即可求解。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可.
19．【答案】解：原式
，
当x取，1时分式无意义，
且，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出且，最后计算求解即可.
20．【答案】（1）解：如图，直线即为所作图形；
（2）证明：∵平分，
∴，
由（1）可知，垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接，作线段 的垂直平分线，交于E，交于F，连接即可解答；
（2）由（1）中作图可知，，再根据ASA证明，得到，即可证明，解答即可．
（1）解：如图，直线即为所作图形；
（2）证明：∵平分，
∴，
由（1）可知，垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求.
（2）3
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：3.
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）利用割补法结合三角形的面积公式计算求解即可；
（3）连接，与直线的交点即为所求．
（1）如图所示，即为所求．
（2）．
故答案为：3；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．【答案】（1）；；
（2）解：令，则，，
则，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：；
方法二：如图：
阴影部分的面积大正方形的面积；
故答案为：，，；
【分析】本题考查完全平方公式的应用。
（1）方法一直接根据阴影正方形边长得出面积；方法二用大正方形面积减去两个矩形面积再加小正方形面积，即，由此得到完全平方公式。
（2）令，，则，结合，利用完全平方公式求出的值。
（3）由得，结合，利用完全平方公式求出；阴影部分面积分为两个三角形，分别计算面积再相加，化简后代入的值即可。
（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：；
方法二：如图：
阴影部分的面积大正方形的面积；
故答案为：，，；
（2）解：令，
则，，
则，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
．
23．【答案】（1）①真，②
（2）解：原式，∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
∴或2或4或5．
（3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，∴，，
∴
，
由题意可得，，，且a，b均为整数，
∵这个三位数的平方能被这个两位数整除，
∴为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的b值，
综上所述，满足条件的两位数n为36．
【知识点】整式的加减运算；分式的概念；分式的值；分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②原式，
故答案为：．
【分析】本题考查分式的分类、化简及整除问题。
（1）①根据真分式定义，分子次数小于分母次数的分式为真分式，符合，故为真分式；
②将分子变形为，拆分分式得到。
（2）将分子变形为，拆分后得到；要使分式值为整数，需为整数，即是2的因数，求出的整数解。
（3）设的百位数字为，十位数字为，则，；化简，得出需为整数，结合、的取值范围，逐一验证的值求出。
（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②原式，
故答案为：．
（2）解：原式，
∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
∴或2或4或5．
（3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，
∴，，
∴
，
由题意可得，，，且a，b均为整数，
∵这个三位数的平方能被这个两位数整除，
∴为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的b值，
综上所述，满足条件的两位数n为36．
24．【答案】【问题背景】∵，
∴，
在和中，
，
∴
【尝试运用】过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的中点；
【拓展创新】．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
【拓展创新】
取的中点，连接，，，过点作于，
∵，，，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在的中垂线上移动，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
∴的最小值．
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形、等边三角形及直角三角形的综合应用。
【问题背景】已知，，，可得，根据SAS判定定理证明。
【尝试运用】先证明（SAS），得出，；过作交延长线于，证明为等边三角形，再证明（AAS），得出。
【拓展创新】取中点，连接、，证明（SAS），得出点在的中垂线上；当、、三点共线时，最小（），结合直角三角形性质求出的长度即为最小值。
25．【答案】（1）解：，，，
∴在中，，
，
，
即；
（2）解：连接，如图2所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
为等边三角形，
，
；
（3）①证明：如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，
点C与点A关于y轴对称，，
是等边三角形，
，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为的中点，
②解：，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出，再利用SAS证明，最后求解即可；
（3）①先利用AAS证明，最后根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②先求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：，，，
在中，
，
，
，即；
（2）解：连接，如图2所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
为等边三角形，
，
；
（3）解：①如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，
点C与点A关于y轴对称，，
是等边三角形，
，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为的中点，
②，
，
．
1 / 1广东省广州市天河区天省实验学校2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·天河月考）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断.
2．（2025八上·天河月考）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选A．
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的核心要求是分母不能为零，针对分式，需保证分母，解这个简单不等式就能得到的取值范围。
3．（2025八上·天河月考）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
4．（2025八上·天河月考）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意；
当添加时，由“”可判定，故选项不合题意；
故答案为：
【分析】根据三角形全等的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．（2025八上·天河月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故A选项错误；
B选项：，，的指数不同，不是同类项，不能合并，故B选项错误；
C选项： 和不是同类项，不能合并，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方可得：，故D选项正确．
故选：D．
【分析】本题考查整式的运算性质，涵盖同底数幂相乘、同类项合并、积的乘方等知识点。同底数幂相乘需遵循“底数不变，指数相加”，据此判断A选项；同类项需满足所含字母相同且相同字母指数一致，以此判断B、C选项能否合并；积的乘方要将每个因式分别乘方再相乘，通过这一规则验证D选项的正确性。
6．（2025八上·天河月考）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条高所在直线交于一点
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．三角形的重心是三边中垂线交点
D．等腰三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自互相重合
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，该性质成立，故A正确；B、三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和，因此大于任何一个不相邻的内角，但未必大于相邻内角（如钝角三角形中钝角的外角小于该钝角），故B错误；
C、三角形的重心是三条中线的交点，而三边中垂线的交点是外心，故C错误；
D、等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线互相重合，并非所有高、中线、角平分线都重合，故D错误；
故选：A．
【分析】本题考查三角形的基本性质，包括高、外角、重心及等腰三角形的特性。三角形三条高所在直线必然交于一点，这是高的核心性质；三角形外角仅大于不相邻的内角，而非所有内角；重心是三条中线的交点，中垂线交点是外心；等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线重合，腰上的不重合，根据这些性质逐一判断选项。
7．（2025八上·天河月考）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值（　　）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
所以如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．
故答案为：A．
【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质"分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的数或式子，分式的值不变" 进行化简即可求解．
8．（2025八上·天河月考）如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC=12，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD=ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD=AB=12，BD=CE，
∵CD=3BD，
∴CE=BD=4，
∴AE=AC-CE=12-4=8．
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到∠B=∠C，进而进行角的运算得到∠BAD=∠CDE，根据垂直平分线的性质得到AD=ED，再根据三角形全等的判定与性质证明△ABD≌△DCE（AAS）得到CD=AB=12，BD=CE，再进行线段的运算即可求解。
9．（2025八上·天河月考）已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：，且，
等式两边除以，可得：，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查分式化简求值与完全平方公式的应用，由且，两边除以可得；利用完全平方公式，代入可求出；将所求分式取倒数，化简为，代入，即可得到原分式的值。
10．（2025八上·天河月考）如图，在中，，为线段上一定点，为线段上一动点．当点在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；胡不归模型
【解析】【解答】解：如图，作射线，使得，过点作交于点，
∴，，
过点作交于点，则当点为与的交点时，有最小值，
此时，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】作射线，使得，过点作交于点，先证出过点作交于点，则当点为与的交点时，有最小值，再求出，最后利用角的运算求出即可．
11．（2025八上·天河月考）如果，关于轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点可知，a=-2，
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
12．（2025八上·天河月考）已知， 则=　 　．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】
=
=3×5
=15
故答案为15
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意相乘即可求解。
13．（2025八上·天河月考）因式分解： 　 　。
【答案】4(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=4（-4）
=4(a+2)(a-2)
故答案为4(a+2)(a-2)
【分析】根据因式分解时有公因式先提公因式，之后再考虑用公式法分解因式。此题用平方出公式即可因式分解。
14．（2025八上·天河月考）如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，设与相交于点M，与相交于点M，
∵，，
∴，
，
∵将纸片先沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】设与相交于点M，与相交于点M，根据题意进行角的运算得到，再根据折叠得到，进而结合题意进行角的运算即可求解。
15．（2025八上·天河月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当是锐角三角形时，，如图，，
∵，
∴，
∴
当是钝角三角形时，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，需分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论。当为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，与另一腰夹角为，利用直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等求出底角；当为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，与另一腰延长线夹角为，利用三角形外角性质求出顶角，进而求出底角。
16．（2025八上·天河月考）如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
∴，
，
为等腰三角形，，
为等腰三角形，，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故答案为：．
【分析】在内作，且使得，连，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据等腰三角形的判定与性质结合题意得到，再进行角的运算结合等边三角形的判定与性质得到，延长CE交AD于F点，从而进行角的运算结合三角形的外角即可求解。
17．（2025八上·天河月考）化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据题意先计算整式的乘方，进而进行乘除运算，从而合并同类项即可求解；
（2）先根据平方差和完全平方公式进行运算，进而去括号，再合并即可求解。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八上·天河月考）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
即，
∵，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据题意先求出，再利用证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可.
19．（2025八上·天河月考）先化简，再从，，三个数字中选择一个合适的数代入上式求值．
【答案】解：原式
，
当x取，1时分式无意义，
且，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先化简分式，再求出且，最后计算求解即可.
20．（2025八上·天河月考）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线，使得点A与点P关于直线对称，直线交直线于 E，交直线于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，，交于点O，若平分，请在（1）的基础上说明．
【答案】（1）解：如图，直线即为所作图形；
（2）证明：∵平分，
∴，
由（1）可知，垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接，作线段 的垂直平分线，交于E，交于F，连接即可解答；
（2）由（1）中作图可知，，再根据ASA证明，得到，即可证明，解答即可．
（1）解：如图，直线即为所作图形；
（2）证明：∵平分，
∴，
由（1）可知，垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．（2025八上·天河月考）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出关于直线MN对称的；
（2）的面积为　 　．
（3）在线段MN上找一点P，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求.
（2）3
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2），
故答案为：3.
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）利用割补法结合三角形的面积公式计算求解即可；
（3）连接，与直线的交点即为所求．
（1）如图所示，即为所求．
（2）．
故答案为：3；
（3）如图所示，点P即为所求．
22．（2025八上·天河月考）观察图形，解决问题：
（1）如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：
方法一：______，方法二：______；结合以上两种方法可以得到数学公式______；
（2）当时，求的值；
（3）如图②所示，两个正方形，的边长分别为m，n．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：令，则，，
则，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：；
方法二：如图：
阴影部分的面积大正方形的面积；
故答案为：，，；
【分析】本题考查完全平方公式的应用。
（1）方法一直接根据阴影正方形边长得出面积；方法二用大正方形面积减去两个矩形面积再加小正方形面积，即，由此得到完全平方公式。
（2）令，，则，结合，利用完全平方公式求出的值。
（3）由得，结合，利用完全平方公式求出；阴影部分面积分为两个三角形，分别计算面积再相加，化简后代入的值即可。
（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：；
方法二：如图：
阴影部分的面积大正方形的面积；
故答案为：，，；
（2）解：令，
则，，
则，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
．
23．（2025八上·天河月考）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【答案】（1）①真，②
（2）解：原式，∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
∴或2或4或5．
（3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，∴，，
∴
，
由题意可得，，，且a，b均为整数，
∵这个三位数的平方能被这个两位数整除，
∴为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的b值，
综上所述，满足条件的两位数n为36．
【知识点】整式的加减运算；分式的概念；分式的值；分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②原式，
故答案为：．
【分析】本题考查分式的分类、化简及整除问题。
（1）①根据真分式定义，分子次数小于分母次数的分式为真分式，符合，故为真分式；
②将分子变形为，拆分分式得到。
（2）将分子变形为，拆分后得到；要使分式值为整数，需为整数，即是2的因数，求出的整数解。
（3）设的百位数字为，十位数字为，则，；化简，得出需为整数，结合、的取值范围，逐一验证的值求出。
（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
②原式，
故答案为：．
（2）解：原式，
∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除，
∴或2或4或5．
（3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，
∴，，
∴
，
由题意可得，，，且a，b均为整数，
∵这个三位数的平方能被这个两位数整除，
∴为整数，即为整数，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，没有满足题意的b值，
当时，，，
当时，，没有满足题意的b值，
综上所述，满足条件的两位数n为36．
24．（2025八上·天河月考）【问题背景】如图，在与中，若，，．求证：；
【尝试运用】如图，在和中，，，，，延长交于点．求证：为的中点；
【拓展创新】如图，在中，，，边上的高为，点是直线上一动点，连接、在直线的右侧作等边，连接，则的最小值__________．
【答案】【问题背景】∵，
∴，
在和中，
，
∴
【尝试运用】过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的中点；
【拓展创新】．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】
【拓展创新】
取的中点，连接，，，过点作于，
∵，，，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在的中垂线上移动，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
∴的最小值．
故答案为：．
【分析】本题考查全等三角形、等边三角形及直角三角形的综合应用。
【问题背景】已知，，，可得，根据SAS判定定理证明。
【尝试运用】先证明（SAS），得出，；过作交延长线于，证明为等边三角形，再证明（AAS），得出。
【拓展创新】取中点，连接、，证明（SAS），得出点在的中垂线上；当、、三点共线时，最小（），结合直角三角形性质求出的长度即为最小值。
25．（2025八上·天河月考）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．
（1）请写出a和b的数量关系；
（2）如图2，点D为的中点，点P为y轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为的中点，连接，过点B作，且，连接交于点P，过点F作轴交的延长线于点M，
①求证：P为的中点；
②求的值．
【答案】（1）解：，，，
∴在中，，
，
，
即；
（2）解：连接，如图2所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
为等边三角形，
，
；
（3）①证明：如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，
点C与点A关于y轴对称，，
是等边三角形，
，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为的中点，
②解：，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出，再利用SAS证明，最后求解即可；
（3）①先利用AAS证明，最后根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②先求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：，，，
在中，
，
，
，即；
（2）解：连接，如图2所示：
是等边三角形，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
为等边三角形，
，
；
（3）解：①如图3所示：
则，
，
，
在和中，
，
，
，
点C与点A关于y轴对称，，
是等边三角形，
，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
为的中点，
②，
，
．
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