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广东省东莞市翰林实验学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷
1．（2025九上·东莞月考）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·东莞月考）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·东莞月考）下列事件中，必然事件是（　　）
A．是实数，
B．太阳从西边升起
C．某运动员跳高的最好成绩是200米
D．掷一枚硬币，正面朝上
4．（2025九上·东莞月考）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么、、、0的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·东莞月考）如图，中，，，，将绕点A逆时针旋转得，交于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·东莞月考）如图，在中，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·东莞月考）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．11
8．（2025九上·东莞月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（　　）．
A．－2 B． C． D．2
9．（2025九上·东莞月考）如图，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长80cm，宽50cm如图所示，如果风景画的面积是3500cm2．设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．（80﹣x）（50﹣x）＝3500 B．（80﹣2x）（50﹣2x）＝3500
C．（80+x）（50+x）＝3500 D．（80+2x）（50+2x）＝3500
10．（2025九上·东莞月考）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，顶点为．对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（　　）
A．①②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②③⑤
11．（2025九上·东莞月考）平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=　 　．
12．（2025九上·东莞月考）如图，在中，弦的长为，圆心到的垂线段长为，则半径的长为　 　．
13．（2025九上·东莞月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则　 　．
14．（2025九上·东莞月考）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则　 　．
15．（2025九上·东莞月考）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为　 　．
16．（2025九上·东莞月考）解方程：
（1）
（2）
17．（2025九上·东莞月考）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点对称的，并写出点，，的坐标．
（2）求出的面积．
18．（2025九上·东莞月考）学习宪法，是青少年成长的“必修课”．某校为了解九年级学生对宪法的学习情况，随机选取了九年级部分学生进行了相关测评（满分100分，90分以上为非常优秀），根据他们的成绩x（单位：分），绘制出如下不完整的统计图表．
九年级部分学生测试成绩频数分布表
组别 测试成绩x（分） 频数
A 1
B 3
C 5
D n
E 4
九年级部分学生测试成绩扇形统计图（如上右图）
（1） ______， ______；
（2）已知该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数；
（3）为积极促进学生对宪法的学习，学校计划从本次测试在90分以上的1位女同学和3位男同学中随机选择两位同学给全校同学分享学习宪法的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两位同学恰好是一男一女的概率．
19．（2025九上·东莞月考）已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点关于原点对称点为，在轴上求一点，使得周长最小，则点坐标为　 　．
20．（2025九上·东莞月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
21．（2025九上·东莞月考）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值；
（3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围．
22．（2025九上·东莞月考）如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）求证：是的切线；
（3）是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
23．（2025九上·东莞月考）实践与探究
为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式．
【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值；
②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别能力，需先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形，再依据这两个定义对每个选项逐一进行验证，判断其是否同时满足这两个图形的特征，进而筛选出符合题意的选项。
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的具体运用，配方法的核心是将一元二次方程转化为 的形式。首先把方程中的常数项移到等号右边，得到 ，接着在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为-4，其一半是-2，平方为4，这样方程左边就构成了完全平方式，从而得到配方后的方程。
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是实数，，是必然事件，符合题意；
B、太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意；
C、某运动员跳高的最好成绩是200米，是不可能事件，不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】必然事件是指一定发生的事件。根据必然事件的概念对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小，
，
．
故答案为：C．
【分析】先求出反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小，再比较大小求解即可.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质、含30°角的直角三角形性质、等角对等边及勾股定理的综合运用。首先在 中，根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出 的长度，再利用勾股定理求出 的长度；接着根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，得出 、、、；然后计算 的度数，发现 ，根据等角对等边得出 ；最后用 的长度减去 的长度，即可求出 的长。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为D
【分析】本题考查圆的切线性质、直角三角形两锐角互余及圆周角定理的综合应用。首先连接 ，因为 是 的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以 ，即 ；在 中，利用直角三角形两锐角互余的性质，已知 ，可求出 ；又因为 ，所以 是等腰三角形，且 是 的外角，根据圆周角定理，圆周角等于它所对圆心角的一半，因此 ，进而求出 的度数。
7．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴抛物线顶点D的坐标为，
∵，
∴B点的横坐标为，
把代入，得到，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标求解及函数值的计算，核心是利用二次函数的性质确定关键点的坐标。首先将二次函数 化为顶点式 ，由此可得出抛物线顶点 的坐标；根据 及抛物线的对称性，抛物线的对称轴为 ，所以点 的横坐标为 ；将 代入二次函数解析式，求出点 的纵坐标，进而计算出 的长度（即点 与点 的纵坐标之差）；最后根据 ，结合已知 ，即可求出杯子的高度 。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的根，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是熟练掌握根与系数的关系式并灵活变形。对于一元二次方程 （），其两根 、 满足 ，。对于方程 ，确定 、、，代入关系式可求出 ，；再将所求表达式 变形为 ，把前面求出的两根之和与两根之积代入变形后的式子，即可计算出结果。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
由题意得：（80-2x）（50-2x）＝3500，
故答案为：B．
【分析】先求出整个挂图的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x）cm，再根据矩形的面积公式列方程求解即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故③正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，
∴当时，，
又，
∴，故②错误；
根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误；
∵抛物线与直线的交点关于对称，
设的两根为，根据对称性可得，则，
同理的两根和为，
∴若方程有四个根，
这四个根的和为．故⑤正确；
综上，①③⑤正确；
故答案为：C．
【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断③，根据当时，，结合，即可判断②，根据函数图象即可判断④，根据抛物线与直线的交点关于对称作答求解即可.
11．【答案】2
【知识点】解二元一次方程组；关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，建立方程计算即可解答．
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦的长为，圆心到的垂线段长为，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是利用垂径定理求出弦的一半长度。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以圆心 到弦 的垂线段 平分 ，由此可求出 ；在 中， 为斜边， 和 为直角边，根据勾股定理 ，将 、 代入公式，即可计算出半径 的长度。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用。首先由 ，根据等腰三角形的性质，两底角相等，可得出 ；再根据三角形外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出 ；由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，即 ，所以 是等腰三角形，因此 ；最后在 中，根据三角形内角和为 ，求出 的度数，再用 减去 的度数，即可得到 的度数。
14．【答案】72
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵的周长为，
∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，关键是明确点 移动的弧长与 转动的路程之间的关系。首先计算 转动2周的路程， 的半径为1cm，其周长为 ，转动2周的路程即为点 移动的弧长，为 ；再根据弧长公式 （其中 为弧长， 为圆心角的度数， 为半径），已知 的半径 ，弧长 ，将这些数据代入弧长公式，列出关于 的方程，解这个方程即可求出 的值。
15．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点，，，
∴，，
设，则，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，
则，
∵，
∴，两点重合，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为：或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数、等腰三角形的性质及坐标与图形的综合应用，核心是根据定义确定 点的位置，再结合等腰三角形的性质分类讨论。首先根据“纵横叠入点”的定义，设 ，则对应的 点坐标为 ，由此可知 点在直线 上；已知 、，可得 且 ，即 的垂直平分线为 轴。分两种情况讨论等腰 ：当 时， 点在 的垂直平分线上，即 点横坐标为0，进而求出 点坐标；当 时，过 作 于 ，在 中，利用勾股定理求出 的长度，进而得到 点的横坐标，从而求出 点坐标。
16．【答案】（1）解：
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，核心是将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
（1） ，观察方程左边，两项都含有公因式 ，提取公因式后可将方程化为 ，根据“若两个因式的积为0，则至少其中一个因式为0”，可得到两个一元一次方程 和 ，求解这两个方程即可得到原方程的解；
（2），采用十字相乘法，将二次三项式 分解为 ，此时方程化为 ，再分别求解 和 ，即可得到原方程的解。
（1）解：
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，；
17．【答案】（1）由，，，则关于原点对称点，，如图，连接，，
∴即为所求；
（2）面积为：，
，
．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的作图方法及三角形面积的计算（面积和差法）。
（1） 作图的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征求出对应点坐标，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此分别求出 、、 关于原点的对称点 、、，再顺次连接这三个点，即可得到 ；
（2）计算面积时，采用面积和差法，将 放在一个边长为3的正方形中，正方形的面积为 ，再减去周围三个直角三角形的面积，分别计算出三个直角三角形的面积为 、、，用正方形面积减去这三个三角形的面积，即可得到 的面积。
（1）由，，，则关于原点对称点，，如图，连接，，
∴即为所求；
（2）面积为：，
，
．
18．【答案】（1）12，12；
（2）解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人，
∴九年级1200名学生对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数约为（人）；
（3）解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下：
女 男1 男2 男3
女
（男1，女） （男2，女） （男3，女）
男1 （女，男1）
（男2，男1） （男3，男1）
男2 （女，男2） （男1，男2）
（男3，男2）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，
∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）
∴，
∵，
∴，
故答案为：12；12；
【分析】本题考查统计图表的分析、用样本估计总体及列表法求概率的综合应用。
（1） 首先根据统计图表， 组的频数为5，所占百分比为20%，用频数除以百分比可求出抽取的总人数为 人；再用总人数减去 、、、 组的频数，即 ，得到 ；用 组的频数除以总人数，即 ，所以 ；
（2） 用样本估计总体时，先求出样本中非常优秀（ 组）学生所占的比例为 ，再用全校九年级总人数1200乘以这个比例，即可估计出全校非常优秀的学生人数；
（3）采用列表法列出所有可能的结果，1位女同学和3位男同学随机选择两位，共有12种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有6种，根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，可计算出对应的概率为 。
（1）解：（人）
∴，
∵，
∴，
故答案为：12；12；
（2）解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人，
∴九年级1200名学生对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数约为（人）；
（3）解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下：
　 女 男1 男2 男3
女 　 （男1，女） （男2，女） （男3，女）
男1 （女，男1） 　 （男2，男1） （男3，男1）
男2 （女，男2） （男1，男2） 　 （男3，男2）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3） 　
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，
∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝．
19．【答案】（1）解：把代入中，得：，∴反比例解析式为；
∴，
把、代入中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设直线交轴于，令，则，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】（3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且，
的周长为，其中为定值，
∴当最小时，周长最小；
作点关于轴的对称点，
则，
当、、三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
代入，，有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点求解、三角形面积计算及最短路径问题的综合应用。
（1） 求函数表达式的关键是利用待定系数法，首先将点 代入反比例函数 ，可求出 ，得到反比例函数解析式为 ；将 代入反比例函数，求出 ，即 ；再将 、 两点坐标代入一次函数 ，得到方程组 ，解方程组求出 、，得到一次函数解析式；
（2）计算 的面积时，先求出直线 与 轴的交点 的坐标，令 ，则 ，即 ，；将 的面积拆分为 和 的面积之和，根据三角形面积公式 ，分别计算出两个三角形的面积，再相加得到 的面积；
（3）求最短周长的关键是利用对称性质，首先求出点 关于原点的对称点 ， 的周长中 为定值，要使周长最小，需使 最小；作 关于 轴的对称点 ，根据对称性质，，当 、、 三点共线时， 最小；求出直线 的解析式，令 ，得到 点的横坐标，进而确定 点坐标。
（1）解：把代入中，得：，
∴反比例解析式为；
∴，
把、代入中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设直线交轴于，令，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且，
的周长为，其中为定值，
∴当最小时，周长最小；
作点关于轴的对称点，
则，
当、、三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
代入，，有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为：．
20．【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
21．【答案】（1）解：当时，，
故；
当时，，
故；
将、代入，
得，
解得，.
（2）解：由（1）知二次函数的解析式为，
设，过作轴交于，则，
，
，
配方得，
当时，的最大值为.
（3）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数求出A、B的坐标，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可；
（3）根据二次函数图象求解即可.
（1）解：当时，，故；
当时，，故；
将、代入，得，
解得，．
（2）解：由（1）知二次函数的解析式为．
设，过作轴交于，则，
，
，
配方得，
当时，的最大值为．
（3）解：由图像可知，当时，自变量的取值范围是．
22．【答案】（1）解：连接，，
∵点C是劣弧的中点，
，则，
∵，
，
，
，
∵，
，
，
又∵，
是等边三角形，，
在中，；
（2）证明：连接，如图
∵为的直径，
，
，
∴，
，
，
∵平分，
，
，
∴，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下，过点作于点，如图，
则，
，
在和中，
∴
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
，
，
，
即，
∴存在常数，使得的值为2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题考查圆的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质的综合应用，核心是利用圆的相关定理和全等三角形的性质推导结论。
（1） 首先连接 、，因为点 是劣弧 的中点，所以 ，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得出 ；又因为 ，等腰三角形两底角相等，所以 ，进而推出 ；已知 ，所以 ，则 ；又因为 ，，所以 是等边三角形，，在 中，利用直角三角形两锐角互余，求出 ；
（2）证明切线需证明半径垂直于直线，连接 ， 为 的直径，所以 ， 则 ；由 得 ，又 平分 ，所以 ，进而 ，，故 ，即 ，又 是 的半径，所以 是 的切线；
（3）存在常数 ，过点 作 于 ，先证明 （AAS），得到 、；再因为 ，所以 ，证明 （HL），得到 ；将 转化为 ，化简后得到 ，因此 ，即 。
（1）解：连接，，
∵点C是劣弧的中点，
，则，
∵，
，
，
，
∵，
，
，
又∵，
是等边三角形，，
在中，；
（2）证明：连接，如图
∵为的直径，
，
，
∴，
，
，
∵平分，
，
，
∴，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下，
过点作于点，如图，
则，
，
在和中，
∴
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
，
，
，
即，
∴存在常数，使得的值为2．
23．【答案】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
设抛物线为，
，
解得：，
，
该抛物线的解析式为：；
（2）能满足安装设计要求，理由如下：
显示屏宽为 ，
，
当时，，
，
能满足安装设计要求；
（3）①，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，也在上，
∴，
，
，
，
，
．
设，则，
．
由，得当时，的最大值为；
②点坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）②解：存在以为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
是等腰直角三角形，
联立，
解得，或（舍去），
，
为线段上一动点，
，
如图，分以下两种情况讨论：
若为对角线，
当四边形为正方形，则轴，
，
点的纵坐标为6，
令，
解得或，
点在线段上，
；
若为边，如图所示：
∵正方形，
，即，
设，
，
解得或，
点在线段上， ，
，
综上所述：点坐标为或．
【分析】（1）设抛物线为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）①求出抛物线的对称轴，将x-6代入直线解析式可得，根据等腰直角三角形性质可得 ，则，设，则，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
②根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，联立抛物线与直线解析式，解方程组可得，由题意可得，分情况讨论：若为对角线，当四边形为正方形，则轴，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得H点的纵坐标为6，将y=6代入抛物线解析式即可求出答案；若为边，根据正方形性质可得，即，设，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省东莞市翰林实验学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷
1．（2025九上·东莞月考）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别能力，需先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形，再依据这两个定义对每个选项逐一进行验证，判断其是否同时满足这两个图形的特征，进而筛选出符合题意的选项。
2．（2025九上·东莞月考）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的具体运用，配方法的核心是将一元二次方程转化为 的形式。首先把方程中的常数项移到等号右边，得到 ，接着在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为-4，其一半是-2，平方为4，这样方程左边就构成了完全平方式，从而得到配方后的方程。
3．（2025九上·东莞月考）下列事件中，必然事件是（　　）
A．是实数，
B．太阳从西边升起
C．某运动员跳高的最好成绩是200米
D．掷一枚硬币，正面朝上
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是实数，，是必然事件，符合题意；
B、太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意；
C、某运动员跳高的最好成绩是200米，是不可能事件，不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】必然事件是指一定发生的事件。根据必然事件的概念对每个选项逐一判断求解即可.
4．（2025九上·东莞月考）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么、、、0的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小，
，
．
故答案为：C．
【分析】先求出反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小，再比较大小求解即可.
5．（2025九上·东莞月考）如图，中，，，，将绕点A逆时针旋转得，交于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质、含30°角的直角三角形性质、等角对等边及勾股定理的综合运用。首先在 中，根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出 的长度，再利用勾股定理求出 的长度；接着根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，得出 、、、；然后计算 的度数，发现 ，根据等角对等边得出 ；最后用 的长度减去 的长度，即可求出 的长。
6．（2025九上·东莞月考）如图，在中，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为D
【分析】本题考查圆的切线性质、直角三角形两锐角互余及圆周角定理的综合应用。首先连接 ，因为 是 的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，所以 ，即 ；在 中，利用直角三角形两锐角互余的性质，已知 ，可求出 ；又因为 ，所以 是等腰三角形，且 是 的外角，根据圆周角定理，圆周角等于它所对圆心角的一半，因此 ，进而求出 的度数。
7．（2025九上·东莞月考）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴抛物线顶点D的坐标为，
∵，
∴B点的横坐标为，
把代入，得到，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标求解及函数值的计算，核心是利用二次函数的性质确定关键点的坐标。首先将二次函数 化为顶点式 ，由此可得出抛物线顶点 的坐标；根据 及抛物线的对称性，抛物线的对称轴为 ，所以点 的横坐标为 ；将 代入二次函数解析式，求出点 的纵坐标，进而计算出 的长度（即点 与点 的纵坐标之差）；最后根据 ，结合已知 ，即可求出杯子的高度 。
8．（2025九上·东莞月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则等于（　　）．
A．－2 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵、是方程的根，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是熟练掌握根与系数的关系式并灵活变形。对于一元二次方程 （），其两根 、 满足 ，。对于方程 ，确定 、、，代入关系式可求出 ，；再将所求表达式 变形为 ，把前面求出的两根之和与两根之积代入变形后的式子，即可计算出结果。
9．（2025九上·东莞月考）如图，在一幅矩形风景画外面的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，整个挂图的长80cm，宽50cm如图所示，如果风景画的面积是3500cm2．设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．（80﹣x）（50﹣x）＝3500 B．（80﹣2x）（50﹣2x）＝3500
C．（80+x）（50+x）＝3500 D．（80+2x）（50+2x）＝3500
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x）cm，
由题意得：（80-2x）（50-2x）＝3500，
故答案为：B．
【分析】先求出整个挂图的长为（80-2x）cm，宽为（50-2x）cm，再根据矩形的面积公式列方程求解即可.
10．（2025九上·东莞月考）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，顶点为．对于下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（　　）
A．①②⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．②③⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故③正确；
∵抛物线与x轴的交点在点和之间，
∴当时，，
又，
∴，故②错误；
根据函数图象可知，当时，的值有正有负，故④错误；
∵抛物线与直线的交点关于对称，
设的两根为，根据对称性可得，则，
同理的两根和为，
∴若方程有四个根，
这四个根的和为．故⑤正确；
综上，①③⑤正确；
故答案为：C．
【分析】根据对称轴判断①，根据抛物线与轴的另一个交点在和之间，得出当时，，即可判断③，根据当时，，结合，即可判断②，根据函数图象即可判断④，根据抛物线与直线的交点关于对称作答求解即可.
11．（2025九上·东莞月考）平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则=　 　．
【答案】2
【知识点】解二元一次方程组；关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点，关于原点对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，建立方程计算即可解答．
12．（2025九上·东莞月考）如图，在中，弦的长为，圆心到的垂线段长为，则半径的长为　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦的长为，圆心到的垂线段长为，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是利用垂径定理求出弦的一半长度。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以圆心 到弦 的垂线段 平分 ，由此可求出 ；在 中， 为斜边， 和 为直角边，根据勾股定理 ，将 、 代入公式，即可计算出半径 的长度。
13．（2025九上·东莞月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用。首先由 ，根据等腰三角形的性质，两底角相等，可得出 ；再根据三角形外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出 ；由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，即 ，所以 是等腰三角形，因此 ；最后在 中，根据三角形内角和为 ，求出 的度数，再用 减去 的度数，即可得到 的度数。
14．（2025九上·东莞月考）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则　 　．
【答案】72
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵的周长为，
∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查弧长公式的实际应用，关键是明确点 移动的弧长与 转动的路程之间的关系。首先计算 转动2周的路程， 的半径为1cm，其周长为 ，转动2周的路程即为点 移动的弧长，为 ；再根据弧长公式 （其中 为弧长， 为圆心角的度数， 为半径），已知 的半径 ，弧长 ，将这些数据代入弧长公式，列出关于 的方程，解这个方程即可求出 的值。
15．（2025九上·东莞月考）定义：已知，若点的对应点在的内部或边上，则称点为的“纵横叠入点”．在平面直角坐标系中，点，，，点是直线上的一点，若点为的“纵横叠入点”，且是等腰三角形，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：∵点，，，
∴，，
设，则，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，
则，
∵，
∴，两点重合，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为：或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数、等腰三角形的性质及坐标与图形的综合应用，核心是根据定义确定 点的位置，再结合等腰三角形的性质分类讨论。首先根据“纵横叠入点”的定义，设 ，则对应的 点坐标为 ，由此可知 点在直线 上；已知 、，可得 且 ，即 的垂直平分线为 轴。分两种情况讨论等腰 ：当 时， 点在 的垂直平分线上，即 点横坐标为0，进而求出 点坐标；当 时，过 作 于 ，在 中，利用勾股定理求出 的长度，进而得到 点的横坐标，从而求出 点坐标。
16．（2025九上·东莞月考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，核心是将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
（1） ，观察方程左边，两项都含有公因式 ，提取公因式后可将方程化为 ，根据“若两个因式的积为0，则至少其中一个因式为0”，可得到两个一元一次方程 和 ，求解这两个方程即可得到原方程的解；
（2），采用十字相乘法，将二次三项式 分解为 ，此时方程化为 ，再分别求解 和 ，即可得到原方程的解。
（1）解：
或，
，；
（2）解：，
，
或，
，；
17．（2025九上·东莞月考）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点对称的，并写出点，，的坐标．
（2）求出的面积．
【答案】（1）由，，，则关于原点对称点，，如图，连接，，
∴即为所求；
（2）面积为：，
，
．
【知识点】三角形的面积；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的作图方法及三角形面积的计算（面积和差法）。
（1） 作图的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征求出对应点坐标，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此分别求出 、、 关于原点的对称点 、、，再顺次连接这三个点，即可得到 ；
（2）计算面积时，采用面积和差法，将 放在一个边长为3的正方形中，正方形的面积为 ，再减去周围三个直角三角形的面积，分别计算出三个直角三角形的面积为 、、，用正方形面积减去这三个三角形的面积，即可得到 的面积。
（1）由，，，则关于原点对称点，，如图，连接，，
∴即为所求；
（2）面积为：，
，
．
18．（2025九上·东莞月考）学习宪法，是青少年成长的“必修课”．某校为了解九年级学生对宪法的学习情况，随机选取了九年级部分学生进行了相关测评（满分100分，90分以上为非常优秀），根据他们的成绩x（单位：分），绘制出如下不完整的统计图表．
九年级部分学生测试成绩频数分布表
组别 测试成绩x（分） 频数
A 1
B 3
C 5
D n
E 4
九年级部分学生测试成绩扇形统计图（如上右图）
（1） ______， ______；
（2）已知该校九年级共有1200名学生，估计该校九年级学生中对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数；
（3）为积极促进学生对宪法的学习，学校计划从本次测试在90分以上的1位女同学和3位男同学中随机选择两位同学给全校同学分享学习宪法的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两位同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）12，12；
（2）解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人，
∴九年级1200名学生对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数约为（人）；
（3）解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下：
女 男1 男2 男3
女
（男1，女） （男2，女） （男3，女）
男1 （女，男1）
（男2，男1） （男3，男1）
男2 （女，男2） （男1，男2）
（男3，男2）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，
∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人）
∴，
∵，
∴，
故答案为：12；12；
【分析】本题考查统计图表的分析、用样本估计总体及列表法求概率的综合应用。
（1） 首先根据统计图表， 组的频数为5，所占百分比为20%，用频数除以百分比可求出抽取的总人数为 人；再用总人数减去 、、、 组的频数，即 ，得到 ；用 组的频数除以总人数，即 ，所以 ；
（2） 用样本估计总体时，先求出样本中非常优秀（ 组）学生所占的比例为 ，再用全校九年级总人数1200乘以这个比例，即可估计出全校非常优秀的学生人数；
（3）采用列表法列出所有可能的结果，1位女同学和3位男同学随机选择两位，共有12种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有6种，根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，可计算出对应的概率为 。
（1）解：（人）
∴，
∵，
∴，
故答案为：12；12；
（2）解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人，
∴九年级1200名学生对宪法的学习情况为非常优秀的学生人数约为（人）；
（3）解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下：
　 女 男1 男2 男3
女 　 （男1，女） （男2，女） （男3，女）
男1 （女，男1） 　 （男2，男1） （男3，男1）
男2 （女，男2） （男1，男2） 　 （男3，男2）
男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3） 　
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，
∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝．
19．（2025九上·东莞月考）已知一次函数与反比例函数的图像交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点关于原点对称点为，在轴上求一点，使得周长最小，则点坐标为　 　．
【答案】（1）解：把代入中，得：，∴反比例解析式为；
∴，
把、代入中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设直线交轴于，令，则，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】（3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且，
的周长为，其中为定值，
∴当最小时，周长最小；
作点关于轴的对称点，
则，
当、、三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
代入，，有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点求解、三角形面积计算及最短路径问题的综合应用。
（1） 求函数表达式的关键是利用待定系数法，首先将点 代入反比例函数 ，可求出 ，得到反比例函数解析式为 ；将 代入反比例函数，求出 ，即 ；再将 、 两点坐标代入一次函数 ，得到方程组 ，解方程组求出 、，得到一次函数解析式；
（2）计算 的面积时，先求出直线 与 轴的交点 的坐标，令 ，则 ，即 ，；将 的面积拆分为 和 的面积之和，根据三角形面积公式 ，分别计算出两个三角形的面积，再相加得到 的面积；
（3）求最短周长的关键是利用对称性质，首先求出点 关于原点的对称点 ， 的周长中 为定值，要使周长最小，需使 最小；作 关于 轴的对称点 ，根据对称性质，，当 、、 三点共线时， 最小；求出直线 的解析式，令 ，得到 点的横坐标，进而确定 点坐标。
（1）解：把代入中，得：，
∴反比例解析式为；
∴，
把、代入中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设直线交轴于，令，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，点关于原点对称点也在双曲线上，且，
的周长为，其中为定值，
∴当最小时，周长最小；
作点关于轴的对称点，
则，
当、、三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
代入，，有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为：．
20．（2025九上·东莞月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
21．（2025九上·东莞月考）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接．
（1）求b、c的值；
（2）求的面积的最大值；
（3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
故；
当时，，
故；
将、代入，
得，
解得，.
（2）解：由（1）知二次函数的解析式为，
设，过作轴交于，则，
，
，
配方得，
当时，的最大值为.
（3）解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先由一次函数求出A、B的坐标，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用三角形的面积公式求出，最后计算求解即可；
（3）根据二次函数图象求解即可.
（1）解：当时，，故；
当时，，故；
将、代入，得，
解得，．
（2）解：由（1）知二次函数的解析式为．
设，过作轴交于，则，
，
，
配方得，
当时，的最大值为．
（3）解：由图像可知，当时，自变量的取值范围是．
22．（2025九上·东莞月考）如图，已知为的直径，F为上一点，点C是劣弧的中点，过点作于点，延长交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）求证：是的切线；
（3）是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：连接，，
∵点C是劣弧的中点，
，则，
∵，
，
，
，
∵，
，
，
又∵，
是等边三角形，，
在中，；
（2）证明：连接，如图
∵为的直径，
，
，
∴，
，
，
∵平分，
，
，
∴，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下，过点作于点，如图，
则，
，
在和中，
∴
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
，
，
，
即，
∴存在常数，使得的值为2．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】本题考查圆的性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质的综合应用，核心是利用圆的相关定理和全等三角形的性质推导结论。
（1） 首先连接 、，因为点 是劣弧 的中点，所以 ，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得出 ；又因为 ，等腰三角形两底角相等，所以 ，进而推出 ；已知 ，所以 ，则 ；又因为 ，，所以 是等边三角形，，在 中，利用直角三角形两锐角互余，求出 ；
（2）证明切线需证明半径垂直于直线，连接 ， 为 的直径，所以 ， 则 ；由 得 ，又 平分 ，所以 ，进而 ，，故 ，即 ，又 是 的半径，所以 是 的切线；
（3）存在常数 ，过点 作 于 ，先证明 （AAS），得到 、；再因为 ，所以 ，证明 （HL），得到 ；将 转化为 ，化简后得到 ，因此 ，即 。
（1）解：连接，，
∵点C是劣弧的中点，
，则，
∵，
，
，
，
∵，
，
，
又∵，
是等边三角形，，
在中，；
（2）证明：连接，如图
∵为的直径，
，
，
∴，
，
，
∵平分，
，
，
∴，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：存在常数，使得的值为2，理由如下，
过点作于点，如图，
则，
，
在和中，
∴
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∴，
，
，
，
即，
∴存在常数，使得的值为2．
23．（2025九上·东莞月考）实践与探究
为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题．
【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式．
【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值；
②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
设抛物线为，
，
解得：，
，
该抛物线的解析式为：；
（2）能满足安装设计要求，理由如下：
显示屏宽为 ，
，
当时，，
，
能满足安装设计要求；
（3）①，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，也在上，
∴，
，
，
，
，
．
设，则，
．
由，得当时，的最大值为；
②点坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）②解：存在以为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得，
是等腰直角三角形，
联立，
解得，或（舍去），
，
为线段上一动点，
，
如图，分以下两种情况讨论：
若为对角线，
当四边形为正方形，则轴，
，
点的纵坐标为6，
令，
解得或，
点在线段上，
；
若为边，如图所示：
∵正方形，
，即，
设，
，
解得或，
点在线段上， ，
，
综上所述：点坐标为或．
【分析】（1）设抛物线为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）①求出抛物线的对称轴，将x-6代入直线解析式可得，根据等腰直角三角形性质可得 ，则，设，则，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
②根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，联立抛物线与直线解析式，解方程组可得，由题意可得，分情况讨论：若为对角线，当四边形为正方形，则轴，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得H点的纵坐标为6，将y=6代入抛物线解析式即可求出答案；若为边，根据正方形性质可得，即，设，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
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