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广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年上学期九年级数学过关练习题（月考试卷）
1．（2025九上·惠州月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.，整理得，不符合题意；
B.，不一定是一元二次方程，不符合题意；
C.是一元二次方程，符合题意；
D.，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025九上·惠州月考）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
则，
故答案为：B.
【分析】根据方程两边都加上一次项系数一半的平方计算求解即可.
3．（2025九上·惠州月考）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该方程有两个相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值如果大于0，则方程有两个不相等的实数根；判别式的值如果等于0，则方程有两个相等的实数根；判别式的值如果小于0，则方程没有实数根，从而判断方程根的情况.
4．（2025九上·惠州月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由一次函数解析式为可知，一次函数与y轴交于，故D不符合题意；
由二次函数解析式为可知，二次函数开口向上，故B不符合题意；
在A、C两个选项中二次函数与y轴交于负半轴，可知，即一次函数的随的增大而减小，故A不符合题意，C符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意直接观察图像即可求解。
5．（2025九上·惠州月考）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
∵m和n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴
∴
【分析】
根据根与系数的关系得出m和n的和，根据方程的解的定义得出m2+m的值，从而可推导出代数式的值。
6．（2025九上·惠州月考）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，
得到的新的抛物线的解析式为：．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可.
7．（2025九上·惠州月考）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110.
故答案为：D.
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.
8．（2025九上·惠州月考）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，再分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
9．（2025九上·惠州月考）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线不经过第一象限，
，
当时，
，
关于的方程的实数根的个数为2个，
当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个，
故答案为：D．
【分析】根据直线不经过第一象限求出，再分类讨论计算求解即可.
10．（2025九上·惠州月考）如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8：③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；⑥．其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④⑤⑥ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．②④⑤⑥
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FP交AB与K，延长AP交EF与H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，BD平分∠ABC和∠ADC，AB//CD.
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°.
∵于点E，于点F，
∴∠PEC=∠C=∠CFP，
∴四边形PECF是矩形，
∴PF=EC，PE=FC.
①∵PF⊥CD，
∴∠PFD=90°=∠C，
∴PF//BC，
∴∠DPF＝∠DBC=45°，
∴PF=DF，△PDF是等腰直角三角形.
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP=EC．故选项①正确；
②四边形PECF的周长＝2PF+2FC＝2DF+2FC＝2CD＝8，故选项②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当AD=AP=AB，即P，B重合时，△APD是等腰三角形；当点P为BD中点时AP=PD，△APD是等腰三角形；当DA=DP时，是等腰三角形.
∵点P是动点，位置不定，故△APD不一定是等腰三角形，故选项③错误．
④∵∠KAD=∠ADF=∠DFK=90°，
∴四边形AKFD是矩形，
∴AK=DF，BK=FC，∠AKP=90°，
∴AK=PF=EC，∠BKP=90°，
PK=BK，
∴PK=FC.
又∵∠AKP=∠C=90°，
∴△AKP≌△ECF（SAS）
∴AP=EF.故选项④正确；
⑤∵EF＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∵点A是直线BD为一点，
∴当AP⊥BD时，即时，EF的最小，最小值等于，故选项⑤正确；
⑥∵矩形PECF，
∴PE//CF，
∴∠PEF=∠CFE，PE//AB，
∴∠KAP=∠EPG.
∵△AKP≌△ECF，
∴∠APK=∠CFE=∠FEP.
∵∠KAP+∠APK=90°，
∴∠EPG+∠FEP=90°，即AG⊥EF.故选项⑥正确.
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP=EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④证明△AKP≌△ECF，即可得AP＝EF；⑤由EF=AP得AP最小时，EF最小，利用“垂线段最短”可得AP⊥BD时有最小值；⑥证明∠EPG+∠FEP=90°，则AP⊥EF．
11．（2025九上·惠州月考）如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 　 　.
【答案】2020
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 得： ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2020.
【分析】由题意把x=1代入一元二次方程可得a+b的值，然后用整体代换计算可求解.
12．（2025九上·惠州月考）某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　.
【答案】1000（1+x）2＝4000
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得：1000（1+x）2＝4000.
故答案为：1000（1+x）2＝4000.
【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
13．（2025九上·惠州月考）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为 　 　．
【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-6x+8＝0
（x-4）(x-2)=0
解得x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，错误三角形三边关系，不能组成三角形，故舍去，
当等腰三角形的三边为2，4，4时，正确三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为2+4+4=10
故答案为：10．
【分析】先求出方程的解，再分两种情况，利用三角形三边的关系及等腰三角形的周长公式求解即可。
14．（2025九上·惠州月考）如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1　 　y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【答案】＞
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．
15．（2025九上·惠州月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
化简得：，
解得：，，
∵当时，，
∴舍去，
即小路宽的值为1，
故答案为：．
【分析】利用矩形的面积公式列方程求出，再解方程计算求解即可.
16．（2025九上·惠州月考）解方程：．
【答案】解：整理为：，
即，
∴或，
∴或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程求解即可.
17．（2025九上·惠州月考）已知二次函数，请直接写出该二次函数图象对应的顶点坐标，对称轴以及最值．
顶点坐标：　 　，对称轴：　 　，当　 　时，y有最　 　值，最值为　 　．
【答案】；直线；；小；
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：已知二次函数，
顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为．
故答案为：，直线，，小，．
【分析】根据二次函数的性质结合题意即可求解。
18．（2025九上·惠州月考）已知函数是关于x的二次函数．
求：
（1）满足条件的m值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？
【答案】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，，
即m的值是﹣3或2；
（2）由（1）知，或2，故或，
∴当时，该抛物线开口向上，有最低点，
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数的定义；二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义结合题意列出方程组，进而即可求解；
（2）由（1）知，或2，故或，进而分类讨论结合二次函数的最值和二次函数的性质即可求解。
（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，，
即m的值是﹣3或2；
（2）由（1）知，或2，
故或，
∴当时，该抛物线开口向上，有最低点，
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
19．（2025九上·惠州月考）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
【答案】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：和是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
即，
解得：，（，不合题意，舍去），
的值为3．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：和是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，即，
解得：，（，不合题意，舍去），
的值为3．
20．（2025九上·惠州月考）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，的面积等于？
（2）的面积能否等于？说明理由．
【答案】（1）解：．
当运动时间为（）时，．
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再解方程计算求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求出，再根据一元二次方程的根的判别式计算求解即可.
（1）解：．
当运动时间为（）时，．
（1）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
21．（2025九上·惠州月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）当降价为x元时，销量为______件（用含x式子表示）
（2）在（1）的条件下，若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）解：当降价为x元时，单件盈利为元，则，
整理得：，
解得：，．
∵让顾客尽可能多得实惠，
∴．
答：每件衬衫应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：∵每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价为x元时，商场平均每天可多售出件，
即销量为件．
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可求解；
（2）当降价为x元时，单件盈利为元，则，进而解一元二次方程，再结合题意即可求解。
（1）解：∵每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价为x元时，商场平均每天可多售出件，
即销量为件．
故答案为：；
（2）解：当降价为x元时，单件盈利为元，
则，
整理得：，
解得：，．
∵让顾客尽可能多得实惠，
∴．
答：每件衬衫应降价20元．
22．（2025九上·惠州月考）阅读材料：我们都知道．
于是，
．
又因为，所以，，，．
所以，有最大值．
如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
（1）请用含x的代数式表示的长　 　（直接写出结果）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
（3）求出山羊活动范围面积S的最大值．
【答案】（1）
（2）解：依题意得：，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
所以山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：依题意得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据求出，再计算求解即可；
（2）根据列出代数式求解即可；
（3）先求出，再计算求解即可.
（1）依题意得
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）依题意得：，
∴，
∴；
（3）
又因为，，
∴，
∴，
所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
23．（2025九上·惠州月考）综合运用
如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接，
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：（1）将代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）设直线的解析式为，把代入得，
解得，
所以直线的解析式为， ．
设，则，，
∴．
①根据题意得的面积为，
故可得方程：
解得．
的面积为10时，点的横坐标为1或4．
②能．
∵，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，
∴，
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为或，
综上所述，满足条件的M点的坐标为．
【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，进而根据三角形的面积分类讨论，从而结合面积比得到关于的方程，再解方程即可求解；
（3）设，根据两点间的距离公式得到，，，进而根据勾股定理的逆定理分类讨论，从而即可求解。
（1）解：（1）将代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
所以直线的解析式为， ．
设，则，，
∴．
①根据题意得的面积为，
故可得方程：
解得．
的面积为10时，点的横坐标为1或4．
②能．
∵，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分．
（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，
∴，
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为或，
综上所述，满足条件的M点的坐标为．
1 / 1广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年上学期九年级数学过关练习题（月考试卷）
1．（2025九上·惠州月考）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·惠州月考）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·惠州月考）一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．（2025九上·惠州月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·惠州月考）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．（2025九上·惠州月考）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得到的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·惠州月考）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
8．（2025九上·惠州月考）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
9．（2025九上·惠州月考）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
10．（2025九上·惠州月考）如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8：③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；⑥．其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④⑤⑥ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．②④⑤⑥
11．（2025九上·惠州月考）如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 　 　.
12．（2025九上·惠州月考）某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　.
13．（2025九上·惠州月考）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为 　 　．
14．（2025九上·惠州月考）如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1　 　y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
15．（2025九上·惠州月考）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为　 　．
16．（2025九上·惠州月考）解方程：．
17．（2025九上·惠州月考）已知二次函数，请直接写出该二次函数图象对应的顶点坐标，对称轴以及最值．
顶点坐标：　 　，对称轴：　 　，当　 　时，y有最　 　值，最值为　 　．
18．（2025九上·惠州月考）已知函数是关于x的二次函数．
求：
（1）满足条件的m值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？
19．（2025九上·惠州月考）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
20．（2025九上·惠州月考）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，的面积等于？
（2）的面积能否等于？说明理由．
21．（2025九上·惠州月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）当降价为x元时，销量为______件（用含x式子表示）
（2）在（1）的条件下，若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？
22．（2025九上·惠州月考）阅读材料：我们都知道．
于是，
．
又因为，所以，，，．
所以，有最大值．
如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
（1）请用含x的代数式表示的长　 　（直接写出结果）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
（3）求出山羊活动范围面积S的最大值．
23．（2025九上·惠州月考）综合运用
如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接，
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.，整理得，不符合题意；
B.，不一定是一元二次方程，不符合题意；
C.是一元二次方程，符合题意；
D.，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
则，
故答案为：B.
【分析】根据方程两边都加上一次项系数一半的平方计算求解即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴该方程有两个相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值如果大于0，则方程有两个不相等的实数根；判别式的值如果等于0，则方程有两个相等的实数根；判别式的值如果小于0，则方程没有实数根，从而判断方程根的情况.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由一次函数解析式为可知，一次函数与y轴交于，故D不符合题意；
由二次函数解析式为可知，二次函数开口向上，故B不符合题意；
在A、C两个选项中二次函数与y轴交于负半轴，可知，即一次函数的随的增大而减小，故A不符合题意，C符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意直接观察图像即可求解。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
∵m和n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴
∴
【分析】
根据根与系数的关系得出m和n的和，根据方程的解的定义得出m2+m的值，从而可推导出代数式的值。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，
得到的新的抛物线的解析式为：．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110.
故答案为：D.
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，对称轴为直线，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去）；
当时，的最大值为0，不符合题意；
当时，则时，函数值y有最大值，
故，
解得：（舍去），．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，再分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：直线不经过第一象限，
，
当时，
，
关于的方程的实数根的个数为2个，
当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个，
故答案为：D．
【分析】根据直线不经过第一象限求出，再分类讨论计算求解即可.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长FP交AB与K，延长AP交EF与H，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，BD平分∠ABC和∠ADC，AB//CD.
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°.
∵于点E，于点F，
∴∠PEC=∠C=∠CFP，
∴四边形PECF是矩形，
∴PF=EC，PE=FC.
①∵PF⊥CD，
∴∠PFD=90°=∠C，
∴PF//BC，
∴∠DPF＝∠DBC=45°，
∴PF=DF，△PDF是等腰直角三角形.
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP=EC．故选项①正确；
②四边形PECF的周长＝2PF+2FC＝2DF+2FC＝2CD＝8，故选项②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当AD=AP=AB，即P，B重合时，△APD是等腰三角形；当点P为BD中点时AP=PD，△APD是等腰三角形；当DA=DP时，是等腰三角形.
∵点P是动点，位置不定，故△APD不一定是等腰三角形，故选项③错误．
④∵∠KAD=∠ADF=∠DFK=90°，
∴四边形AKFD是矩形，
∴AK=DF，BK=FC，∠AKP=90°，
∴AK=PF=EC，∠BKP=90°，
PK=BK，
∴PK=FC.
又∵∠AKP=∠C=90°，
∴△AKP≌△ECF（SAS）
∴AP=EF.故选项④正确；
⑤∵EF＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∵点A是直线BD为一点，
∴当AP⊥BD时，即时，EF的最小，最小值等于，故选项⑤正确；
⑥∵矩形PECF，
∴PE//CF，
∴∠PEF=∠CFE，PE//AB，
∴∠KAP=∠EPG.
∵△AKP≌△ECF，
∴∠APK=∠CFE=∠FEP.
∵∠KAP+∠APK=90°，
∴∠EPG+∠FEP=90°，即AG⊥EF.故选项⑥正确.
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP=EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④证明△AKP≌△ECF，即可得AP＝EF；⑤由EF=AP得AP最小时，EF最小，利用“垂线段最短”可得AP⊥BD时有最小值；⑥证明∠EPG+∠FEP=90°，则AP⊥EF．
11．【答案】2020
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 得： ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2020.
【分析】由题意把x=1代入一元二次方程可得a+b的值，然后用整体代换计算可求解.
12．【答案】1000（1+x）2＝4000
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得：1000（1+x）2＝4000.
故答案为：1000（1+x）2＝4000.
【分析】由该呼吸机制造商2020年一月份及三月份生产呼吸机的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
13．【答案】10
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：x2-6x+8＝0
（x-4）(x-2)=0
解得x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，错误三角形三边关系，不能组成三角形，故舍去，
当等腰三角形的三边为2，4，4时，正确三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为2+4+4=10
故答案为：10．
【分析】先求出方程的解，再分两种情况，利用三角形三边的关系及等腰三角形的周长公式求解即可。
14．【答案】＞
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：，
化简得：，
解得：，，
∵当时，，
∴舍去，
即小路宽的值为1，
故答案为：．
【分析】利用矩形的面积公式列方程求出，再解方程计算求解即可.
16．【答案】解：整理为：，
即，
∴或，
∴或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程求解即可.
17．【答案】；直线；；小；
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：已知二次函数，
顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为．
故答案为：，直线，，小，．
【分析】根据二次函数的性质结合题意即可求解。
18．【答案】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，，
即m的值是﹣3或2；
（2）由（1）知，或2，故或，
∴当时，该抛物线开口向上，有最低点，
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
【知识点】二次函数的定义；二次函数的最值；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义结合题意列出方程组，进而即可求解；
（2）由（1）知，或2，故或，进而分类讨论结合二次函数的最值和二次函数的性质即可求解。
（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴，
解得，，
即m的值是﹣3或2；
（2）由（1）知，或2，
故或，
∴当时，该抛物线开口向上，有最低点，
当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大．
19．【答案】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：和是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
即，
解得：，（，不合题意，舍去），
的值为3．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系用表示出，，再利用勾股定理求出，最后计算求解即可.
（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：和是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，即，
解得：，（，不合题意，舍去），
的值为3．
20．【答案】（1）解：．
当运动时间为（）时，．
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再解方程计算求解即可；
（2）根据三角形的面积公式求出，再根据一元二次方程的根的判别式计算求解即可.
（1）解：．
当运动时间为（）时，．
（1）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
21．【答案】（1）；
（2）解：当降价为x元时，单件盈利为元，则，
整理得：，
解得：，．
∵让顾客尽可能多得实惠，
∴．
答：每件衬衫应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：∵每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价为x元时，商场平均每天可多售出件，
即销量为件．
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可求解；
（2）当降价为x元时，单件盈利为元，则，进而解一元二次方程，再结合题意即可求解。
（1）解：∵每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价为x元时，商场平均每天可多售出件，
即销量为件．
故答案为：；
（2）解：当降价为x元时，单件盈利为元，
则，
整理得：，
解得：，．
∵让顾客尽可能多得实惠，
∴．
答：每件衬衫应降价20元．
22．【答案】（1）
（2）解：依题意得：，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
所以山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用；二次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】（1）解：依题意得：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据求出，再计算求解即可；
（2）根据列出代数式求解即可；
（3）先求出，再计算求解即可.
（1）依题意得
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）依题意得：，
∴，
∴；
（3）
又因为，，
∴，
∴，
所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
23．【答案】（1）解：（1）将代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）设直线的解析式为，把代入得，
解得，
所以直线的解析式为， ．
设，则，，
∴．
①根据题意得的面积为，
故可得方程：
解得．
的面积为10时，点的横坐标为1或4．
②能．
∵，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，
∴，
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为或，
综上所述，满足条件的M点的坐标为．
【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法即可求解；
（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，进而根据三角形的面积分类讨论，从而结合面积比得到关于的方程，再解方程即可求解；
（3）设，根据两点间的距离公式得到，，，进而根据勾股定理的逆定理分类讨论，从而即可求解。
（1）解：（1）将代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
所以直线的解析式为， ．
设，则，，
∴．
①根据题意得的面积为，
故可得方程：
解得．
的面积为10时，点的横坐标为1或4．
②能．
∵，
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
当时，，即，
整理得，
解得（舍去），此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分．
（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
∵，
∴，
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，
解得，此时M点的坐标为或，
综上所述，满足条件的M点的坐标为．
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