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广东省珠海市部分学校2025-2026学年八年级上学期12月联考数学试卷
1．（2025八上·珠海月考）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·珠海月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·珠海月考）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
4．（2025八上·珠海月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　）
A．或5 B．5 C．8 D．8或
5．（2025八上·珠海月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为（　　）
A．10 B．11 C．10或11 D．7
6．（2025八上·珠海月考）如图，已知，若再添加下列条件中的某一个，仍不能判定，则这个条件是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·珠海月考）如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
8．（2025八上·珠海月考）若的展开式中不含项，则a的值为（　　）
A． B．2 C． D．1
9．（2025八上·珠海月考）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八上·珠海月考）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（　　）
A．124824 B．241248 C．122448 D．482124
11．（2025八上·珠海月考）因式分解： =　 　；
12．（2025八上·珠海月考）若，，则　 　．
13．（2025八上·珠海月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
14．（2025八上·珠海月考）已知，，则的值为　 　．
15．（2025八上·珠海月考）如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
16．（2025八上·珠海月考）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025八上·珠海月考）分解因式：
（1）
（2）
18．（2025八上·珠海月考）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025八上·珠海月考）已知；如图所示．
（1）作出关于y轴对称的；
（2）点坐标为　 　．
（3）在轴上画出点，使最小．
20．（2025八上·珠海月考）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
21．（2025八上·珠海月考）如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，　 　，　 　．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
22．（2025八上·珠海月考）（1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值．
（2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和．
23．（2025八上·珠海月考）在中，，点是边上的两点．
（1）如图1，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，求的值；
（2）如图2，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：；
（3）如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【分析】本题核心考察轴对称图形的定义，即判断一个图形是否存在一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。解题时需逐一分析每个选项，A、C、D三个选项的图形，无论选取哪条直线折叠，直线两侧的部分都无法实现完全重合，不满足轴对称图形的定义；而B选项的图形能找到这样的一条直线，折叠后两侧部分完全重合，因此B选项是轴对称图形。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故本选项正确；
故选D．
【分析】本题考查幂的相关运算，包括积的乘方、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，解题关键是熟练运用各运算的基本法则对每个选项逐一计算判断。对于A选项，根据积的乘方法则，，与选项中不符，故A错误；B选项依据同底数幂相乘法则，，并非，B错误；C选项按照同底数幂相除法则，，不是，C错误；D选项根据幂的乘方法则，，计算结果正确，故D为正确选项。
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项A不符合题意；
B：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项B不符合题意；
C：此选项等式的右边是几个整式乘积的形式，属于因式分解，选项C符合题意；
D：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的核心是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，这是判断变形是否为因式分解的关键依据。分析各选项，A选项等式右边是，属于整式与常数的差，并非整式乘积形式；B选项右边是，是整式乘积与整式的和，不符合要求；D选项右边是，是左边两个整式相乘的结果，属于整式乘法，而非因式分解；C选项右边可看作，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此C选项正确。
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：，
，
解得：或，
故答案为：D．
【分析】根据结合题意求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为：3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长=3+4+4=11，
∴三角形的周长为10或11．
故答案为：C．
【分析】本题考查等腰三角形的性质（两腰长度相等）以及三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），解题需分情况讨论等腰三角形的腰长和底边长。第一种情况，当3为腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，验证三边关系：，，满足构成三角形的条件，此时周长为；第二种情况，当3为底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，同样验证三边关系：，，符合要求，此时周长为，因此该等腰三角形的周长为10或11。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符合题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项B不符合题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项C不符合题意；
当添加条件是时，不一定能使，则选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积=；
故答案为：A。
【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得，然后以AB为底、DF为高即可列式求出的面积．
8．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵
，
又∵展开式中不含项，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，以及“展开式中不含某一项则该项系数为0”的知识点。首先按照多项式乘多项式的法则展开原式：，合并同类项后得到。因为展开式中不含项，所以项的系数必须为0，即，解得。
9．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而证明平方差公式即可.
10．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
且，，
∴，
，
，
∴ 因式值为 12、24、48，
可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412
选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合，
选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列，
∴ 密码不可能为D．
故选：D．
【分析】本题考查因式分解的应用（提公因式法与平方差公式的综合运用），以及密码的生成规则（由因式分解后各因式的值任意排列组成）。首先对多项式进行因式分解，先提取公因式，得到，再利用平方差公式，将分解为，最终因式分解结果为。代入，计算各因式的值：，，，因此密码是12、24、48这三个数的任意排列。分析选项，A、B、C均为这三个数的不同排列，而D选项482124无法拆分为12、24、48的任意组合，所以密码不可能为D。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】本题考查同底数幂的除法法则（）逆运算和幂的乘方法则（）逆运算，通过法则对所求式子进行变形，再代入已知条件计算。首先将根据同底数幂的除法法则变形为，再根据幂的乘方法则，将转化为，代入，，可得。
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，仍为，因此对称点的坐标为．
故答案为．
【分析】本题考查同底数幂的除法法则（）和幂的乘方法则（），通过法则对所求式子进行变形，再代入已知条件计算。首先将根据同底数幂的除法法则变形为，再根据幂的乘方法则，将转化为，代入，，可得。
14．【答案】45
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据，以及完全平方公式计算求解即可.
15．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵于点E，于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
②过点作于点，于点，
∵
∴
又
∴，
∴
∴平分
又
所以，；
③，
∵
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
同理可得：是等腰直角三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴，故③错误；
④延长到点，使，连接，，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴垂直平分，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，故④正确；
综上所述，正确的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】 由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)本题考察多项式乘多项式的运算，按照“用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再合并同类项”的法则计算。将中的和分别与中的和相乘，得到，再合并同类项，最终结果为；
(2)本题考察多项式除以单项式的运算，法则是“用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”。将和分别除以，，，相加后结果为。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)本题考察提公因式法与完全平方公式的综合因式分解，因式分解需先提取公因式，再看剩余部分是否能继续分解。首先观察多项式，各项都含有公因式，提取后得到，剩余的符合完全平方公式（其中，），因此进一步分解为；
(2)本题考察提公因式法与平方差公式的综合因式分解，先整理式子使各项含有相同公因式，将变形为，此时多项式变为，提取公因式得，符合平方差公式，分解为，最终结果为。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，涉及平方差公式和完全平方公式的应用，先化简代数式再代入数值计算可简化运算。首先利用平方差公式展开，得到；再利用完全平方公式展开，得到；将展开后的式子代入原式，去括号得，合并同类项后化简为；最后将，代入化简后的式子，计算得。
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）
（3）解：如图所示，点P即为所求．、
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：如图所示，点坐标为；
故答案为：；
【分析】(1)本题考察轴对称图形的绘制，关键是根据关于y轴对称的点的坐标特征找到对应点。关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，分别找出点A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接这三个点，即可得到；
(2)本题考察根据坐标系确定点的坐标，在画出后，观察点B'在坐标系中的位置，横坐标为-3，纵坐标为1，因此点B'的坐标为；
(3)本题考察利用轴对称求最短路径，依据“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”解题。作点C关于x轴的对称点C''，连接A、C''，线段AC''与x轴的交点即为所求点P，因为轴对称性质使得PC=PC''，所以PA+PC=PA+PC''=AC''，此时PA+PC的值最小。
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图所示，点坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图所示，点P即为所求．
20．【答案】（1）解：因为，
所以，
当，时，．
（2）解：因为，
所以，
当，时，．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)本题考察完全平方公式的变形应用，核心是利用进行计算。由完全平方公式，移项可得，将，代入，计算得；
(2)本题考察完全平方公式的连续应用，先利用(1)的结果，再通过变形公式计算。由(1)知，又，代入变形公式得。
（1）解：因为，
所以，
当，时，．
（2）解：因为，
所以，
当，时，．
21．【答案】（1）3；3
（2）解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，，
，
，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：
①当且时，且，
解得：，
，
舍去此情况；
②，时，且，
解得：；
综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：经过后，，；
【分析】(1)本题考察速度、时间与路程的关系（路程=速度×时间），点P和点Q的运动速度均为3cm/s，运动时间为1s，因此cm，cm；
(2)本题考察等腰三角形的性质（则）和全等三角形的判定（SAS），设点Q的运动速度为cm/s（），运动时间为s，可得cm，cm，cm。因为，要使，需分两种情况：①且，解得（与速度不等矛盾，舍去）；②且，由得，解得，又cm，故cm，即，解得，因此点Q的运动速度为cm/s时，两三角形全等。
（1）解：经过后，，；
（2）解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，，
，
，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：
①当且时，且，
解得：，
，
舍去此情况；
②，时，且，
解得：；
综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
22．【答案】解：（1）设，，则，，
∴
；
（2）∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为40，
∴，
设，，
则，，
∴，
∴，
∵四边形和均为正方形，
∴图中阴影部分的面积和是：.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，，再利用代入计算求解即可；
（2）根据长方形的面积求出，再求出，最后作答求解即可.
23．【答案】（1）解：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
如图，过点作，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（3）的最小值为.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
如图，过点作于点，交于点，过点作于点，
平分，
，
当D，N，H三点共线时最小
，
，
，
的最小值为.
【分析】（1）先求出是等边三角形，再根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）利用ASA证明，再根据等边三角形的判定方法证明△GEC是等边三角形，最后根据全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再利用三角形的面积关系求出，最后计算求解即可.
（1）解：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
如图，过点作，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
如图，过点作于点，交于点，过点作于点，
平分，
，
当D，N，H三点共线时最小
，
，
，
的最小值为．
1 / 1广东省珠海市部分学校2025-2026学年八年级上学期12月联考数学试卷
1．（2025八上·珠海月考）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【分析】本题核心考察轴对称图形的定义，即判断一个图形是否存在一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。解题时需逐一分析每个选项，A、C、D三个选项的图形，无论选取哪条直线折叠，直线两侧的部分都无法实现完全重合，不满足轴对称图形的定义；而B选项的图形能找到这样的一条直线，折叠后两侧部分完全重合，因此B选项是轴对称图形。
2．（2025八上·珠海月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故本选项正确；
故选D．
【分析】本题考查幂的相关运算，包括积的乘方、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，解题关键是熟练运用各运算的基本法则对每个选项逐一计算判断。对于A选项，根据积的乘方法则，，与选项中不符，故A错误；B选项依据同底数幂相乘法则，，并非，B错误；C选项按照同底数幂相除法则，，不是，C错误；D选项根据幂的乘方法则，，计算结果正确，故D为正确选项。
3．（2025八上·珠海月考）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】A：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项A不符合题意；
B：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项B不符合题意；
C：此选项等式的右边是几个整式乘积的形式，属于因式分解，选项C符合题意；
D：此选项等式的右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解的核心是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，这是判断变形是否为因式分解的关键依据。分析各选项，A选项等式右边是，属于整式与常数的差，并非整式乘积形式；B选项右边是，是整式乘积与整式的和，不符合要求；D选项右边是，是左边两个整式相乘的结果，属于整式乘法，而非因式分解；C选项右边可看作，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，因此C选项正确。
4．（2025八上·珠海月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　）
A．或5 B．5 C．8 D．8或
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：，
，
解得：或，
故答案为：D．
【分析】根据结合题意求解即可.
5．（2025八上·珠海月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为（　　）
A．10 B．11 C．10或11 D．7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为：3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长=3+4+4=11，
∴三角形的周长为10或11．
故答案为：C．
【分析】本题考查等腰三角形的性质（两腰长度相等）以及三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），解题需分情况讨论等腰三角形的腰长和底边长。第一种情况，当3为腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，验证三边关系：，，满足构成三角形的条件，此时周长为；第二种情况，当3为底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，同样验证三边关系：，，符合要求，此时周长为，因此该等腰三角形的周长为10或11。
6．（2025八上·珠海月考）如图，已知，若再添加下列条件中的某一个，仍不能判定，则这个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当添加条件是时，
在和中，，
，则选项不符合题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项B不符合题意；
当添加条件是时，
在和中，，
，则选项C不符合题意；
当添加条件是时，不一定能使，则选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法对每个选项逐一判断求解即可.
7．（2025八上·珠海月考）如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵为的角平分线，于点，
∴，
∴的面积=；
故答案为：A。
【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得，然后以AB为底、DF为高即可列式求出的面积．
8．（2025八上·珠海月考）若的展开式中不含项，则a的值为（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵
，
又∵展开式中不含项，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，以及“展开式中不含某一项则该项系数为0”的知识点。首先按照多项式乘多项式的法则展开原式：，合并同类项后得到。因为展开式中不含项，所以项的系数必须为0，即，解得。
9．（2025八上·珠海月考）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而证明平方差公式即可.
10．（2025八上·珠海月考）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（　　）
A．124824 B．241248 C．122448 D．482124
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
且，，
∴，
，
，
∴ 因式值为 12、24、48，
可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412
选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合，
选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列，
∴ 密码不可能为D．
故选：D．
【分析】本题考查因式分解的应用（提公因式法与平方差公式的综合运用），以及密码的生成规则（由因式分解后各因式的值任意排列组成）。首先对多项式进行因式分解，先提取公因式，得到，再利用平方差公式，将分解为，最终因式分解结果为。代入，计算各因式的值：，，，因此密码是12、24、48这三个数的任意排列。分析选项，A、B、C均为这三个数的不同排列，而D选项482124无法拆分为12、24、48的任意组合，所以密码不可能为D。
11．（2025八上·珠海月考）因式分解： =　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： = x(x-3)，
故答案为： .
【分析】直接用提公因式法分解即可。
12．（2025八上·珠海月考）若，，则　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】本题考查同底数幂的除法法则（）逆运算和幂的乘方法则（）逆运算，通过法则对所求式子进行变形，再代入已知条件计算。首先将根据同底数幂的除法法则变形为，再根据幂的乘方法则，将转化为，代入，，可得。
13．（2025八上·珠海月考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，仍为，因此对称点的坐标为．
故答案为．
【分析】本题考查同底数幂的除法法则（）和幂的乘方法则（），通过法则对所求式子进行变形，再代入已知条件计算。首先将根据同底数幂的除法法则变形为，再根据幂的乘方法则，将转化为，代入，，可得。
14．（2025八上·珠海月考）已知，，则的值为　 　．
【答案】45
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据，以及完全平方公式计算求解即可.
15．（2025八上·珠海月考）如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵于点E，于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
②过点作于点，于点，
∵
∴
又
∴，
∴
∴平分
又
所以，；
③，
∵
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
同理可得：是等腰直角三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴，故③错误；
④延长到点，使，连接，，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴垂直平分，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，故④正确；
综上所述，正确的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】 由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④．
16．（2025八上·珠海月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)本题考察多项式乘多项式的运算，按照“用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再合并同类项”的法则计算。将中的和分别与中的和相乘，得到，再合并同类项，最终结果为；
(2)本题考察多项式除以单项式的运算，法则是“用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”。将和分别除以，，，相加后结果为。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025八上·珠海月考）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)本题考察提公因式法与完全平方公式的综合因式分解，因式分解需先提取公因式，再看剩余部分是否能继续分解。首先观察多项式，各项都含有公因式，提取后得到，剩余的符合完全平方公式（其中，），因此进一步分解为；
(2)本题考察提公因式法与平方差公式的综合因式分解，先整理式子使各项含有相同公因式，将变形为，此时多项式变为，提取公因式得，符合平方差公式，分解为，最终结果为。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八上·珠海月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，涉及平方差公式和完全平方公式的应用，先化简代数式再代入数值计算可简化运算。首先利用平方差公式展开，得到；再利用完全平方公式展开，得到；将展开后的式子代入原式，去括号得，合并同类项后化简为；最后将，代入化简后的式子，计算得。
19．（2025八上·珠海月考）已知；如图所示．
（1）作出关于y轴对称的；
（2）点坐标为　 　．
（3）在轴上画出点，使最小．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）
（3）解：如图所示，点P即为所求．、
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：如图所示，点坐标为；
故答案为：；
【分析】(1)本题考察轴对称图形的绘制，关键是根据关于y轴对称的点的坐标特征找到对应点。关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，分别找出点A、B、C关于y轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接这三个点，即可得到；
(2)本题考察根据坐标系确定点的坐标，在画出后，观察点B'在坐标系中的位置，横坐标为-3，纵坐标为1，因此点B'的坐标为；
(3)本题考察利用轴对称求最短路径，依据“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”解题。作点C关于x轴的对称点C''，连接A、C''，线段AC''与x轴的交点即为所求点P，因为轴对称性质使得PC=PC''，所以PA+PC=PA+PC''=AC''，此时PA+PC的值最小。
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图所示，点坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图所示，点P即为所求．
20．（2025八上·珠海月考）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：因为，
所以，
当，时，．
（2）解：因为，
所以，
当，时，．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)本题考察完全平方公式的变形应用，核心是利用进行计算。由完全平方公式，移项可得，将，代入，计算得；
(2)本题考察完全平方公式的连续应用，先利用(1)的结果，再通过变形公式计算。由(1)知，又，代入变形公式得。
（1）解：因为，
所以，
当，时，．
（2）解：因为，
所以，
当，时，．
21．（2025八上·珠海月考）如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，　 　，　 　．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
【答案】（1）3；3
（2）解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，，
，
，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：
①当且时，且，
解得：，
，
舍去此情况；
②，时，且，
解得：；
综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：经过后，，；
【分析】(1)本题考察速度、时间与路程的关系（路程=速度×时间），点P和点Q的运动速度均为3cm/s，运动时间为1s，因此cm，cm；
(2)本题考察等腰三角形的性质（则）和全等三角形的判定（SAS），设点Q的运动速度为cm/s（），运动时间为s，可得cm，cm，cm。因为，要使，需分两种情况：①且，解得（与速度不等矛盾，舍去）；②且，由得，解得，又cm，故cm，即，解得，因此点Q的运动速度为cm/s时，两三角形全等。
（1）解：经过后，，；
（2）解：设点Q的运动速度为，经过，与全等，则可知，，，
，
，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：
①当且时，且，
解得：，
，
舍去此情况；
②，时，且，
解得：；
综上可知：若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等．
22．（2025八上·珠海月考）（1）同学们开展了数学综合实践活动，提出了如下问题：若满足，求的值．创新小组思路是：如果设，，则，，要求的式子就是求的值．请你按这种思路，运用乘法公式，求的值．
（2）如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，请用第（1）小题的方法，求图中阴影部分的面积和．
【答案】解：（1）设，，则，，
∴
；
（2）∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为40，
∴，
设，，
则，，
∴，
∴，
∵四边形和均为正方形，
∴图中阴影部分的面积和是：.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，，再利用代入计算求解即可；
（2）根据长方形的面积求出，再求出，最后作答求解即可.
23．（2025八上·珠海月考）在中，，点是边上的两点．
（1）如图1，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，求的值；
（2）如图2，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：；
（3）如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）解：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
如图，过点作，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（3）的最小值为.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
如图，过点作于点，交于点，过点作于点，
平分，
，
当D，N，H三点共线时最小
，
，
，
的最小值为.
【分析】（1）先求出是等边三角形，再根据等边三角形的判定方法求出是等边三角形，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）利用ASA证明，再根据等边三角形的判定方法证明△GEC是等边三角形，最后根据全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再利用三角形的面积关系求出，最后计算求解即可.
（1）解：，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
如图，过点作，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
如图，过点作于点，交于点，过点作于点，
平分，
，
当D，N，H三点共线时最小
，
，
，
的最小值为．
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