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广东省广州市广大附中大学城校区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·广州月考）下列各数中，绝对值等于的数是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2025九上·广州月考）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为(（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·广州月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·广州月考）将抛物线向左平移1个单位再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·广州月考）下列事件是必然事件的是（　　）
A．打开电视机正在播放广告
B．任意一个一元二次方程都有实数根
C．明年元旦是晴天
D．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
6．（2025九上·广州月考）已知一元二次方程有一个根为2，则m值为（　　）
A．－3 B．2 C．－2 D．3
7．（2025九上·广州月考）关于的不等式组有且只有2个整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·广州月考）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·广州月考）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．（2025九上·广州月考）二次函数的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（　　）
A． B． C．1 D．2
11．（2025九上·广州月考）因式分解： =　 　.
12．（2025九上·广州月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为　 　．
13．（2025九上·广州月考）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
14．（2025九上·广州月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为　 　（直观关系式无需化简）
15．（2025九上·广州月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为　 　.
16．（2025九上·广州月考）如图，四边形为的内接四边形为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，，则的半径为　 　.
17．（2025九上·广州月考）解方程：
18．（2025九上·广州月考）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
19．（2025九上·广州月考）为传承中华优秀文化，丰富居民文娱活动，某社区在元宵节举办了猜灯谜活动.猜中灯谜者，可获得一次抽奖机会，奖品有四类，设有四个抽签，分别记为，每次抽奖都出示四个抽签．
（1）小明获得一次抽奖机会，则他抽到类奖品的概率为_____；
（2）小军获得两次抽奖机会，请用列表或画树状图的方法，求他两次抽到的是不同类奖品的概率．
20．（2025九上·广州月考）如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：．
21．（2025九上·广州月考）已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是，求k的值．
（2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值．
22．（2025九上·广州月考）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
23．（2025九上·广州月考）某农户在天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量（件）与时间（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量（件）与时间（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．
销售时间x（天）
日销售量（件）
（1）写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量与的函数关系式并求出线下店铺日销售量的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为元，在抖音平台销售该农产品每件利润为元，设该农户销售农产品的日销售总利润为，写出与时间的函数关系式，并判断第几天日销售总利润最大，并求出此时最大值．
24．（2025九上·广州月考）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形．
（2）【类比探究】如图2，在等边内有一点，连接，，，若，，，求的大小．
（3）【解决问题】如图3，在等边内有一点，，，，求的边长．
（4）【综合应用】如图4，点为一动点，，，，连接、、，则的最小值为______．
25．（2025九上·广州月考）已知二次函数（为常数）．
（1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的函数关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：绝对值等于的数是或，
A选项2的绝对值是2，所以A选项是错误的；
B选项的绝对值是2，所以B选项是错误的；
C选项的绝对值是，所以C选项是正确的；
D选项的绝对值是2，所以D选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.000073用科学记数法表示为 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：对于A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于B：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
对于C：不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
对于D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】轴对称图形是指图形沿某条直线折叠后两部分完全重合，中心对称图形是指图形绕某点旋转180度后与原图形重合.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移之后的解析式为：，
即：y=-x2.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的平移规律，可直接得出平移后的解析式。
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意；
C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一个根为2 ，
∴22-6-m=0，
∴m=-2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根先求出22-6-m=0，再计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵
∴由得；
∴由得，
故不等式组的解集为，
∵关于的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】分别解两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴该“莱洛三角形”的周长是．
故选：D．
【分析】根据等边三角形性质可得，，则，再根据弧长公式即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
即要修建的高度是1米，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法先求出，再求出点A的坐标，最后计算求解即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
则且，
当时，
解得，
∵a取满足条件的最小整数，而，
故，
当时，，
设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，
对于，
令，则，
解得或2，
令，则，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
由直线知，该直线过点C，
①当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过点B、C，
将点B的坐标代入得：，
解得；
②当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点，
当直线过点A、C时，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
当直线与只有一个交点时，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则，
解得，
综上，或或，
故答案为：D．
【分析】由二次函数的图象与x轴有两个公共点，则且，得到，再分类讨论，结合题意计算求解即可.
11．【答案】（a-2）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=（a-2）2
故答案为：（a-2）2
【分析】利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据三角形内角和定理可得∠ABC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点为函数与函数的图象的交点，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为，
则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额建立函数关系式即可求出答案.
15．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，切点分别为，，，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴内切圆的半径为，
故答案为：1．
【分析】根据三角形内切圆性质可得，，，根据边之间的关系可得AB，BC，AC，再根据直角三角形内切圆半径公式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于点M，作交的延长线于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
在中，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，解得：（负值已舍去），
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点M，作交的延长线于点N，根据垂径定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据圆内接四边形性质可得∠ADC，设，则，，，根据边之间的关系可得AN，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，根据勾股定理可得AC，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】解：，
，
2x+1=2或2x+1=-2，
解得：x=或x=.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用解一元二次方程的方法解方程求解即可.
18．【答案】解：
，
，
只能取，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，化简时先把括号内的异分母分式化为同分母分式，再颠倒分子与分母的位置与前面的分式相乘，同时对分子和分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图：
可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种，
两次抽到的是不同类奖品的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵共有4类，抽取1类，
∴抽到B类的概率是．
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽到不同类奖品的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵共有4类，抽取1类，
∴抽到B类的概率是．
（2）解：画树状图：
可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种，
两次抽到的是不同类奖品的概率是．
20．【答案】证明：∵，∴，
在与中，
∴（），
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的证明，由平行线的性质得内错角相等（∠B=∠DCE），结合已知条件，用AAS证三角形全等，得BC=CE.
21．【答案】（1）解：把代入方程得：，
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，
解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）把代入方程计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出，再计算求解即可.
（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
22．【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
.
（2）证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
（3）解：由（2）得：，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，则．再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：当，设，
将点代入得，
解得：
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，∴
（2）解：将代入，，
得：
解得：
∴
∵，，
∴当时，的最大值为
（3）解：设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵
∴当时，取得最大值，最大值为：（元）
当时，
∴当时，取得最大值，最大值为
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 当，设，根据待定系数法将点代入可得，当时，设，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点代入，，可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为，分情况讨论：当时，当时，当时，建立函数关系式即可求出答案.
（1）解：当，设，
将点代入得，
解得：
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，∴
（2）解：将代入，，
得：
解得：
∴
∵，，
∴当时，的最大值为
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵
∴当时，取得最大值，最大值为：（元）
当时，
∴当时，取得最大值，最大值为
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
24．【答案】（1）等边；
（2）如图，以为边向上作等边，连接，
，
则，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，以为边向上作等边，连接，
，
则，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的边长为；
（4）的最小值为
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴为等边三角形；
故答案为：等边
（4）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、，
，
由旋转的性质可得：，，，，
∴，
∴，
当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，
作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠PAP'，再根据含30°角的直角三角形性质可得AP'，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据想旋转性质可得，，，，根据勾股定理可得PD，再根据角之间的关系可得，当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据角之间的关系可得∠CEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得CF，再根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理即可求出答案.
25．【答案】（1）解：把点代入中，
．
此函数表达式为：，
当时，．
图象不经过点．
（2）解：抛物线函数的顶点坐标是，
，．
∴
把代入，
．
与的函数解析式为．
（3）解：由题意，把代入，得，
，
∴顶点坐标为：
∴抛物线不经过第三象限，
当对称轴在轴右侧时，，解得，
当对称轴在轴左侧时，，解得：。
综上所述：抛物线不经过第三象限时
当时，函数的最大值与最小值之差为16，
把代入，得，
把代入，得，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，函数总是取最小值，
①当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
②当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式可得此函数表达式为：，再将点坐标代入进行判断即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）将x=0代入解析式可得，将抛物线解析式转换为顶点式可得顶点坐标为：，根据二次函数性质可得抛物线不经过第三象限时，再根据二次函数最值即可求出答案.
（1）解：把点代入中，
．
．
此函数表达式为：，
当时，．
图象不经过点．
（2）解：抛物线函数的顶点坐标是，
，．
∴
把代入，
．
与的函数解析式为．
（3）解：由题意，把代入，得，
，
∴顶点坐标为：
∴抛物线不经过第三象限，
当对称轴在轴右侧时，，解得，
当对称轴在轴左侧时，，解得：。
综上所述：抛物线不经过第三象限时
当时，函数的最大值与最小值之差为16，
把代入，得，
把代入，得，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，函数总是取最小值，
①当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
②当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
综上所述，或．
1 / 1广东省广州市广大附中大学城校区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·广州月考）下列各数中，绝对值等于的数是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：绝对值等于的数是或，
A选项2的绝对值是2，所以A选项是错误的；
B选项的绝对值是2，所以B选项是错误的；
C选项的绝对值是，所以C选项是正确的；
D选项的绝对值是2，所以D选项是错误的；
故选：C．
【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.
2．（2025九上·广州月考）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为(（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.000073用科学记数法表示为 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
3．（2025九上·广州月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：对于A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于B：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
对于C：不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
对于D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】轴对称图形是指图形沿某条直线折叠后两部分完全重合，中心对称图形是指图形绕某点旋转180度后与原图形重合.
4．（2025九上·广州月考）将抛物线向左平移1个单位再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移之后的解析式为：，
即：y=-x2.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的平移规律，可直接得出平移后的解析式。
5．（2025九上·广州月考）下列事件是必然事件的是（　　）
A．打开电视机正在播放广告
B．任意一个一元二次方程都有实数根
C．明年元旦是晴天
D．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意；
C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025九上·广州月考）已知一元二次方程有一个根为2，则m值为（　　）
A．－3 B．2 C．－2 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有一个根为2 ，
∴22-6-m=0，
∴m=-2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根先求出22-6-m=0，再计算求解即可。
7．（2025九上·广州月考）关于的不等式组有且只有2个整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵
∴由得；
∴由得，
故不等式组的解集为，
∵关于的不等式组有且只有2个整数解，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】分别解两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．（2025九上·广州月考）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴该“莱洛三角形”的周长是．
故选：D．
【分析】根据等边三角形性质可得，，则，再根据弧长公式即可求出答案.
9．（2025九上·广州月考）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：选图中第一象限的抛物线，
由题意得，抛物线顶点坐标为，过点，
设抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
即要修建的高度是1米，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法先求出，再求出点A的坐标，最后计算求解即可.
10．（2025九上·广州月考）二次函数的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
则且，
当时，
解得，
∵a取满足条件的最小整数，而，
故，
当时，，
设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，
对于，
令，则，
解得或2，
令，则，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
由直线知，该直线过点C，
①当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过点B、C，
将点B的坐标代入得：，
解得；
②当时，
∵直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点，
当直线过点A、C时，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
当直线与只有一个交点时，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则，
解得，
综上，或或，
故答案为：D．
【分析】由二次函数的图象与x轴有两个公共点，则且，得到，再分类讨论，结合题意计算求解即可.
11．（2025九上·广州月考）因式分解： =　 　.
【答案】（a-2）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=（a-2）2
故答案为：（a-2）2
【分析】利用完全平方公式分解即可.
12．（2025九上·广州月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据三角形内角和定理可得∠ABC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
13．（2025九上·广州月考）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点为函数与函数的图象的交点，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求出答案.
14．（2025九上·广州月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为　 　（直观关系式无需化简）
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为，
则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额建立函数关系式即可求出答案.
15．（2025九上·广州月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为　 　.
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，切点分别为，，，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴内切圆的半径为，
故答案为：1．
【分析】根据三角形内切圆性质可得，，，根据边之间的关系可得AB，BC，AC，再根据直角三角形内切圆半径公式即可求出答案.
16．（2025九上·广州月考）如图，四边形为的内接四边形为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，，则的半径为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于点M，作交的延长线于点N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
在中，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，解得：（负值已舍去），
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点M，作交的延长线于点N，根据垂径定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据圆内接四边形性质可得∠ADC，设，则，，，根据边之间的关系可得AN，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，根据勾股定理可得AC，再根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2025九上·广州月考）解方程：
【答案】解：，
，
2x+1=2或2x+1=-2，
解得：x=或x=.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用解一元二次方程的方法解方程求解即可.
18．（2025九上·广州月考）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：
，
，
只能取，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，化简时先把括号内的异分母分式化为同分母分式，再颠倒分子与分母的位置与前面的分式相乘，同时对分子和分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
19．（2025九上·广州月考）为传承中华优秀文化，丰富居民文娱活动，某社区在元宵节举办了猜灯谜活动.猜中灯谜者，可获得一次抽奖机会，奖品有四类，设有四个抽签，分别记为，每次抽奖都出示四个抽签．
（1）小明获得一次抽奖机会，则他抽到类奖品的概率为_____；
（2）小军获得两次抽奖机会，请用列表或画树状图的方法，求他两次抽到的是不同类奖品的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图：
可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种，
两次抽到的是不同类奖品的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵共有4类，抽取1类，
∴抽到B类的概率是．
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽到不同类奖品的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵共有4类，抽取1类，
∴抽到B类的概率是．
（2）解：画树状图：
可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种，
两次抽到的是不同类奖品的概率是．
20．（2025九上·广州月考）如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
在与中，
∴（），
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的证明，由平行线的性质得内错角相等（∠B=∠DCE），结合已知条件，用AAS证三角形全等，得BC=CE.
21．（2025九上·广州月考）已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是，求k的值．
（2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值．
【答案】（1）解：把代入方程得：，
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，
解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）把代入方程计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出，再计算求解即可.
（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
22．（2025九上·广州月考）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
.
（2）证明：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
（3）解：由（2）得：，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得，则．再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025九上·广州月考）某农户在天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量（件）与时间（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量（件）与时间（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．
销售时间x（天）
日销售量（件）
（1）写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量与的函数关系式并求出线下店铺日销售量的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为元，在抖音平台销售该农产品每件利润为元，设该农户销售农产品的日销售总利润为，写出与时间的函数关系式，并判断第几天日销售总利润最大，并求出此时最大值．
【答案】（1）解：当，设，
将点代入得，
解得：
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，∴
（2）解：将代入，，
得：
解得：
∴
∵，，
∴当时，的最大值为
（3）解：设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵
∴当时，取得最大值，最大值为：（元）
当时，
∴当时，取得最大值，最大值为
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 当，设，根据待定系数法将点代入可得，当时，设，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点代入，，可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为，分情况讨论：当时，当时，当时，建立函数关系式即可求出答案.
（1）解：当，设，
将点代入得，
解得：
当时，设，将点代入得，
解得：
∴，
综上所述，∴
（2）解：将代入，，
得：
解得：
∴
∵，，
∴当时，的最大值为
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为，
当时，
对称轴为，当时，随的增大而增大，
∵
∴当时，取得最大值，最大值为：（元）
当时，
∴当时，取得最大值，最大值为
∴
综上所述，第天，日销售总利润最大，最大值为元．
24．（2025九上·广州月考）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形．
（2）【类比探究】如图2，在等边内有一点，连接，，，若，，，求的大小．
（3）【解决问题】如图3，在等边内有一点，，，，求的边长．
（4）【综合应用】如图4，点为一动点，，，，连接、、，则的最小值为______．
【答案】（1）等边；
（2）如图，以为边向上作等边，连接，
，
则，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，以为边向上作等边，连接，
，
则，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的边长为；
（4）的最小值为
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴为等边三角形；
故答案为：等边
（4）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、，
，
由旋转的性质可得：，，，，
∴，
∴，
当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，
作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠PAP'，再根据含30°角的直角三角形性质可得AP'，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据想旋转性质可得，，，，根据勾股定理可得PD，再根据角之间的关系可得，当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据角之间的关系可得∠CEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得CF，再根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理即可求出答案.
25．（2025九上·广州月考）已知二次函数（为常数）．
（1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并说明理由；
（2）设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的函数关系式；
（3）若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
【答案】（1）解：把点代入中，
．
此函数表达式为：，
当时，．
图象不经过点．
（2）解：抛物线函数的顶点坐标是，
，．
∴
把代入，
．
与的函数解析式为．
（3）解：由题意，把代入，得，
，
∴顶点坐标为：
∴抛物线不经过第三象限，
当对称轴在轴右侧时，，解得，
当对称轴在轴左侧时，，解得：。
综上所述：抛物线不经过第三象限时
当时，函数的最大值与最小值之差为16，
把代入，得，
把代入，得，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，函数总是取最小值，
①当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
②当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式可得此函数表达式为：，再将点坐标代入进行判断即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）将x=0代入解析式可得，将抛物线解析式转换为顶点式可得顶点坐标为：，根据二次函数性质可得抛物线不经过第三象限时，再根据二次函数最值即可求出答案.
（1）解：把点代入中，
．
．
此函数表达式为：，
当时，．
图象不经过点．
（2）解：抛物线函数的顶点坐标是，
，．
∴
把代入，
．
与的函数解析式为．
（3）解：由题意，把代入，得，
，
∴顶点坐标为：
∴抛物线不经过第三象限，
当对称轴在轴右侧时，，解得，
当对称轴在轴左侧时，，解得：。
综上所述：抛物线不经过第三象限时
当时，函数的最大值与最小值之差为16，
把代入，得，
把代入，得，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，函数总是取最小值，
①当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
②当，为最大值时，依题意得：，
解得：，（不合题意舍去）
综上所述，或．
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