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广东省汕头市潮南区司马浦镇2025-2026学年上学期八年级数学期末考试卷
1．（2026八上·潮南期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·潮南期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·潮南期末）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·潮南期末） 如果 ， 那么 的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
5．（2026八上·潮南期末）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（　　）
A．OD=OE B．OE=OF
C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
6．（2026八上·潮南期末）已知点、关于轴对称，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·潮南期末）已知 A 为整式，若计算 的结果为 则A=(　　)
A．x B．y C．x+y D．x-y
8．（2026八上·潮南期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2026八上·潮南期末）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
10．（2026八上·潮南期末）如图中，的垂直平分线HD与的外角平分线CD交于点，于，于，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．（2026八上·潮南期末）用科学记数法表示数0.0002026为　 　．
12．（2026八上·潮南期末）要使展开式中不含项，则k的值等于　 　．
13．（2026八上·潮南期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为　 　．
14．（2026八上·潮南期末）已知，，则的值为　 　.
15．（2026八上·潮南期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
16．（2026八上·潮南期末）已知，求的值．
17．（2026八上·潮南期末）解方程： ．
18．（2026八上·潮南期末）如图，中，点D在边上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
19．（2026八上·潮南期末）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
20．（2026八上·潮南期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题：
（1）分别把多项式A和B分解因式；
（2）已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小．
21．（2026八上·潮南期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点．
（1）若．求的度数；
（2）若，，求的长．
22．（2026八上·潮南期末）（1）【观察】；；
【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．
（2）【拓展】
①利用你发现的规律计算：；
②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．
23．（2026八上·潮南期末）在中，，为的中点，分别为上的点，连接．
【探究发现】
（1）如图①，若，为的中点，，求证：；
【类比猜想】
（2）如图②，若，，试说明之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图③，若，，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】A、x=0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x=-1时，分式无意义，故C错误；
D、当x=0时，分式无意义，故D错误；
故答案为：B.
【分析】使分式有意义，即是使分式分母不为零，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、，故A错误.
B、，故B错误.
C、，故C正确.
D、，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据，，，即可判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，
∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得∠AOB=∠BOC，根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据点、关于轴对称得，，代入即可得答案.
7．【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先计算 ，
∵化简的结果为
∴
∴，
∵A为整式，
∴A=x，
故答案为：A.
【分析】先对原式中两个分式进行通分，然后根据计算结果建立关于A的方程，进而求解A.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系可得，再根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①是的外角平分线，，，
，，
在的垂直平分线上，
，
在和中，
，故①正确.
②在 上截取，
∵，
∴为垂直平分线上的点，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确.
③∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确.
④∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④错误.
综上所述：一定成立的是①②③.
故答案为：A．
【分析】①根据是的外角平分线，，根据外角平分线和垂直平分线可得，②在 上截取，证明，根据全等三角形的性质可得，.③根据，得，再根据，得，再根据即可得.④根据，，
得，再根据，，，得进一步得.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示，需使满足，故将小数点向右移动位，得到，，
∴0.0002026科学记数法表示为.
故答案为：．
【分析】将用科学记数法表示，需使满足，故将小数点向右移动位，得到，，即可得答案.
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，
∵展开式中不含项，
∴项的系数，解得：．
故答案为：．
【分析】把化简得，根据展开式中不含项得，解得：，即可得答案.
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在等边三角形中，，，
∵是边上的中线，
，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在等边三角形中，，，根据是边上的中线，得，根据，得，在中，，，可得，含有的直角三角形的性质，可得.
14．【答案】12
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算和幂的乘方的逆运算即可．
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
，
，
，
当点，，共线时，取最小值，最小值为，
由垂线段最短得，当时，取得最小值，
此时，，
，解得．
故答案为：5．
【分析】在上取一点，使，连接，根据是的角平分线，得，进一步得，根据三角形全等的性质得，即可得，当点，，共线时，取最小值，最小值为，由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时，解得即可.
16．【答案】解：
．
当时，
原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】把化简得，把代入计算即可求出值．
17．【答案】解：方程两边同乘x(x﹣1)，得x2﹣x2+x=2x﹣2，
整理，得﹣x=﹣2，
解得，x=2，
检验：当x=2时，x(x﹣1)=2≠0，
则x=2是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边乘以最简公分母x(x-1)去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解，然后代入最简公分母中进行检验，最后写出分式方程的解．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
19．【答案】（1）解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，
根据题意，得：，
解分式方程，得：，
经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义，
∴，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）解：设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得：，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：根据题意得：
，
.
（2）解：
∵a，b分别为等腰的腰和底边，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的基本性质；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；约分
【解析】【分析】（1）根据题目的方法，分别把多项式A和B分解因式即可.
（2）把 多项式A和B 代入得，根据a，b分别为等腰的腰和底边，得，进一步推理得.
（1）解：
；
；
（2）；
∵a，b分别为等腰的腰和底边，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：如图，
，，
，
平分，
，
，
，
．
∴的度数为．
（2）解：如图，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴的长为4．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合，，得，根据平分，得，再根据，得，即可得的度数为．
（2）根据得，可证明，即可得，进一步可判断
为等边三角形，进而可知的长度．
（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
．
答：的度数为．
（2），，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
答：的长为4．
22．【答案】解：（1）第n个等式为：，证明如下：
．
（2）①
．
②∵
，
∴，
解得，经检验是分式方程的解，
的值为25．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【分析】（1）观察题目的式子，发现规律即可猜想第n个等式为：，进一步
通过分式的减法进行计算即可证明.
（2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，即可把
化为，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解.
②根据题目的意思，把裂项合并后，得，进一步得分式方程求解即可．
23．【答案】证明：（1）如图①，
，，
，
为等边三角形，
．
，
，
，
，
为BC的中点，
，
为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
解：（2）如图②，
，，
，
为的中点，
，，
，
．
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）如图③，
取的中点，连接，
，
，为的中点，
，平分，，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，．
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
．
∴的长度为24．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，，得，即可得为等边三角形，再根据条件证明，进一步得，进一步得.
（2）根据已知条件得，，进一步证明，可得，即可得.
（3）取的中点，根据已知可证明，即可，再根据，
得，进一步的长度为24．
1 / 1广东省汕头市潮南区司马浦镇2025-2026学年上学期八年级数学期末考试卷
1．（2026八上·潮南期末）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】A、x=0时分式无意义，故A错误；
B、无论x取何值，分式总有意义，故B正确；
C、当x=-1时，分式无意义，故C错误；
D、当x=0时，分式无意义，故D错误；
故答案为：B.
【分析】使分式有意义，即是使分式分母不为零，据此解答即可.
2．（2026八上·潮南期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
3．（2026八上·潮南期末）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】A、，故A错误.
B、，故B错误.
C、，故C正确.
D、，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据，，，即可判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项即可得答案.
4．（2026八上·潮南期末） 如果 ， 那么 的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：D
【分析】先对多项式分解因式，再进行整体代入，即可得到结论.
5．（2026八上·潮南期末）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（　　）
A．OD=OE B．OE=OF
C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，
∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得∠AOB=∠BOC，根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2026八上·潮南期末）已知点、关于轴对称，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据点、关于轴对称得，，代入即可得答案.
7．（2026八上·潮南期末）已知 A 为整式，若计算 的结果为 则A=(　　)
A．x B．y C．x+y D．x-y
【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先计算 ，
∵化简的结果为
∴
∴，
∵A为整式，
∴A=x，
故答案为：A.
【分析】先对原式中两个分式进行通分，然后根据计算结果建立关于A的方程，进而求解A.
8．（2026八上·潮南期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系可得，再根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
9．（2026八上·潮南期末）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
10．（2026八上·潮南期末）如图中，的垂直平分线HD与的外角平分线CD交于点，于，于，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①是的外角平分线，，，
，，
在的垂直平分线上，
，
在和中，
，故①正确.
②在 上截取，
∵，
∴为垂直平分线上的点，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确.
③∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确.
④∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④错误.
综上所述：一定成立的是①②③.
故答案为：A．
【分析】①根据是的外角平分线，，根据外角平分线和垂直平分线可得，②在 上截取，证明，根据全等三角形的性质可得，.③根据，得，再根据，得，再根据即可得.④根据，，
得，再根据，，，得进一步得.
11．（2026八上·潮南期末）用科学记数法表示数0.0002026为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示，需使满足，故将小数点向右移动位，得到，，
∴0.0002026科学记数法表示为.
故答案为：．
【分析】将用科学记数法表示，需使满足，故将小数点向右移动位，得到，，即可得答案.
12．（2026八上·潮南期末）要使展开式中不含项，则k的值等于　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，
∵展开式中不含项，
∴项的系数，解得：．
故答案为：．
【分析】把化简得，根据展开式中不含项得，解得：，即可得答案.
13．（2026八上·潮南期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在等边三角形中，，，
∵是边上的中线，
，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在等边三角形中，，，根据是边上的中线，得，根据，得，在中，，，可得，含有的直角三角形的性质，可得.
14．（2026八上·潮南期末）已知，，则的值为　 　.
【答案】12
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算和幂的乘方的逆运算即可．
15．（2026八上·潮南期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点．点分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
，
，
，
当点，，共线时，取最小值，最小值为，
由垂线段最短得，当时，取得最小值，
此时，，
，解得．
故答案为：5．
【分析】在上取一点，使，连接，根据是的角平分线，得，进一步得，根据三角形全等的性质得，即可得，当点，，共线时，取最小值，最小值为，由垂线段最短得，当时，取得最小值，此时，解得即可.
16．（2026八上·潮南期末）已知，求的值．
【答案】解：
．
当时，
原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】把化简得，把代入计算即可求出值．
17．（2026八上·潮南期末）解方程： ．
【答案】解：方程两边同乘x(x﹣1)，得x2﹣x2+x=2x﹣2，
整理，得﹣x=﹣2，
解得，x=2，
检验：当x=2时，x(x﹣1)=2≠0，
则x=2是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边乘以最简公分母x(x-1)去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解，然后代入最简公分母中进行检验，最后写出分式方程的解．
18．（2026八上·潮南期末）如图，中，点D在边上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线即可求解；
（2）先根据角平分线的定义得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
19．（2026八上·潮南期末）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【答案】（1）解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，
根据题意，得：，
解分式方程，得：，
经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义，
∴，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）解：设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得：，
解得
∴
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条，根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2026八上·潮南期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解．如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法，已知；．请利用以上方法解决下列问题：
（1）分别把多项式A和B分解因式；
（2）已知a，b分别为等腰的腰和底边，试比较分式与1的大小．
【答案】（1）解：根据题意得：
，
.
（2）解：
∵a，b分别为等腰的腰和底边，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的基本性质；三角形三边关系；因式分解-分组分解法；约分
【解析】【分析】（1）根据题目的方法，分别把多项式A和B分解因式即可.
（2）把 多项式A和B 代入得，根据a，b分别为等腰的腰和底边，得，进一步推理得.
（1）解：
；
；
（2）；
∵a，b分别为等腰的腰和底边，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2026八上·潮南期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点．
（1）若．求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，
，，
，
平分，
，
，
，
．
∴的度数为．
（2）解：如图，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴的长为4．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合，，得，根据平分，得，再根据，得，即可得的度数为．
（2）根据得，可证明，即可得，进一步可判断
为等边三角形，进而可知的长度．
（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
．
答：的度数为．
（2），，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
答：的长为4．
22．（2026八上·潮南期末）（1）【观察】；；
【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．
（2）【拓展】
①利用你发现的规律计算：；
②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．
【答案】解：（1）第n个等式为：，证明如下：
．
（2）①
．
②∵
，
∴，
解得，经检验是分式方程的解，
的值为25．
【知识点】分式的加减法；解分式方程；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【分析】（1）观察题目的式子，发现规律即可猜想第n个等式为：，进一步
通过分式的减法进行计算即可证明.
（2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，即可把
化为，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解.
②根据题目的意思，把裂项合并后，得，进一步得分式方程求解即可．
23．（2026八上·潮南期末）在中，，为的中点，分别为上的点，连接．
【探究发现】
（1）如图①，若，为的中点，，求证：；
【类比猜想】
（2）如图②，若，，试说明之间的数量关系；
【拓展延伸】
（3）如图③，若，，，求的长度．
【答案】证明：（1）如图①，
，，
，
为等边三角形，
．
，
，
，
，
为BC的中点，
，
为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
解：（2）如图②，
，，
，
为的中点，
，，
，
．
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）如图③，
取的中点，连接，
，
，为的中点，
，平分，，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，．
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
．
∴的长度为24．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，，得，即可得为等边三角形，再根据条件证明，进一步得，进一步得.
（2）根据已知条件得，，进一步证明，可得，即可得.
（3）取的中点，根据已知可证明，即可，再根据，
得，进一步的长度为24．
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