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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.1 一元二次方程
旧知回顾
1.什么是一元一次方程？
答：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．
2.根据题意列出方程，并判断是否为一元一次方程？
(1)面积为900 m2的一块绿地，长比宽多10 m，求绿地长和宽各为多少米？
(2)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手28次，求小组同学数x.
解：(1)设绿地宽为x m，列方程得x(x＋10)＝900，整理得x2＋10x－900＝0；
(2)由题意得＝28，整理得x2－x－56＝0.
以上所列方程均不是一元一次方程．
知识模块一　一元二次方程
探究新知
问题1：某蔬菜队去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
今年无公害蔬菜产量：
100 + 100x = 100(1 + x) (t)
明年无公害蔬菜产量：
100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t)
今年
100
100x
明年
100(1+x)
100(1+x)·x
100
去年
根据题意，得 100(1 + x)2 = 200.
化简，得 (1 + x)2 = 2.
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0.
它是一
元一次方程吗？它有什么特点？
只含一个未知数 x 且其次数是 2
问题2：如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
x
横向小路的面积：
32x m2
纵向小路的面积：
2×20x m2
重叠部分的面积：
2x2 m2
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？
思考：
20
32
(单位：m)
x
32
(单位：m)
x
20
x2 – 36x + 35 = 0
这两个方程有什么共同点？
等号两边都是整式；
思考：
x2 + 2x – 1 = 0
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是 2.
归纳总结
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
一元
二次
什么是一元二次方程？举例说明．
答：像x2＋2x－1＝0，x2－36x＋35＝0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程．
典例精析
范例1：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 ( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0
C．x2－1＝y D．x2＋2x＝x2－1
A
仿例：方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( )
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝－2 D．m≠±2
B
范例2：已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为( )
A．2 B．0 C．0或2 D．0或－2
仿例：若m(m≠0)是关于x的一元二次方程x2＋nx＋m＝0的根，则m＋n＝　　.
－1
A
知识模块二　一元二次方程的一般形式
任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
的一般形式.
ax2 ：二次项，a 是二次项的系数；
bx ：一次项，b 是一次项的系数；
c ：常数项.
例 已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断 – 1 是否为该方程的根.
解：（1）去括号，得
3x2 – 3x = 2x + 4 + 4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：
3x2 – 5x – 8 = 0.
它的二次项系数是 3，一次项系数是 – 5，常数项是 – 8.
解：（2）
把 x = – 1 代入原方程的左右两边，得
左边 = 3×(– 1)×(– 1 – 1) = 6.
右边 = 2×(– 1 + 2) + 4 = 6.
因为左边 = 右边，
所以 – 1 是该方程的根.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作这个一元二次方程的根.
练一练：
1.下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）x2 – x = 1； （2）4x2 + 3x – 2 = (2x – 1)2；
（5）y2 + 3y – 4 = 0；（6）x3 + 2x2 + x + 1 = 0.
（3）x2 – +4= 0； （4）2x2 + 3 = 0；
√
×
√
×
×
√
分析：
只含有一个未知数
是
未知数最高次数为2
是
整式方程
否
不是一元二次方程
否
是一元二次方程
是
否
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项，填入下表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
5x2 = 6x – 8
–2x2=0
x(x – 1) = 0
(t–)(t+)
5x2 – 6x + 8 = 0
5
– 6
8
– 2
0
x2 – x = 0
1
– 1
0
1
–2x2+=0
t–)t–=0
–
归纳总结
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b 0
ax2 + c = 0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c
ax2 = 0(a ≠ 0) a 0 0
一元二次方程的特殊形式：
练一练：
下面哪些数是方程 x2 + x – 2 = 0 的根？
将这些数分别带入方程中：
(– 3)2 + (– 3) – 2 = 4
– 3，– 2，– 1，0，1，2，3.
(– 2)2 + (– 2) – 2 = 0
(– 1)2 + (– 1) – 2 = – 2
02 + 0 – 2 = – 2
12 + 1 – 2 = 0
22 + 2 – 2 = 4
32 + 3 – 2 = 10
√
√
√
√
典例精析
范例3：一元二次方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是_____________.
仿例：一元二次方程2x2－1－x＝0的二次项系数是__，一次项系数是______，常数项是_______.
x2－5x＋5＝0
2
－
－1
知识模块三　根据实际问题列方程
范例4： 现代化教学设备实现“班班通”，某市2023年安装“班班通”多媒体设备的经费是144万元，2025年安装“班班通”多媒体设备的经费是300万元．若设这两年安装“班班通”多媒体设备的经费平均增长率为x，则可列方程_________________.
144(1＋x)2＝300
仿例1：如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x cm，可列出关于x的方程为__________________，化简得_______________.
(9－2x)(5－2x)＝12
4x2－28x＋33＝0
仿例2：有几位同学约定，在新年零点钟声敲响后，互通电话祝福，他们通话的总次数为21次，求参与约定的同学数x.可列方程为_________，化简为_______________.
＝21
x2－x－42＝0
随堂练习
1. 一元二次方程 3x2 = 5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，– 5 D. 5，0
2. 下列哪些数是方程 x2 + x – 12 = 0 的根？
– 4，– 3，– 2，– 1， 0， 1， 2， 3， 4.
C
解： – 4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2 + 1 = 6x； （2）4x2 = 81 – 5x.
解：（1）一般形式：3x2 – 6x + 1 = 0，二次项系数是 3，一次项系数是 – 6，常数项是 1；
（2）一般形式：4x2 + 5x – 81 = 0，二次项系数是 4，一次项系数是 5，常数项是– 81.
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一根 1 m 长的铁丝，怎样用它围一个面积为 0.06 m2 的长方形？
解：设长方形的长为 x m，则宽为 (0.5 – x) m.
根据题意，得 x(0.5 – x) = 0.06，
整理，得 50x2 – 25x + 3 = 0.
（2）一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2，求较长的直角边的长.
解：设这个直角三角形较长的直角边为 x cm，则另一条直角边为 (x – 3) cm.
根据题意，得 x(x – 3)=9,
整理，得 x2 – 3x – 18 = 0.
5. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的矩形风景画四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图. 要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，则 x 满足的方程是（ ）
A. x2 + 130x + 1400 = 0
B. x2 + 65x – 350 = 0
C. x2 – 130x – 1400 = 0
D. x2 – 65x – 350 = 0
B
6. 如果 2 是方程 x2 – c = 0的一个根，求常数 c.
解：将 x = 2 代入原方程中，得
22 – c = 0，
解得 c = 4.
课堂小结
一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a
b
c
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
概念
只含有一个未知数
未知数的最高次数是 2
完成对应课时练习。
课堂作业

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