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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.2 一元二次方程的解法
17.2.1 配方法
导入新课
1.什么叫平方根？平方根有哪些性质？
答：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，用式子表示为：若x2＝a，则x叫作a的平方根．平方根有下列性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.0的平方根是0，负数没有平方根．
2.解下列方程：
(1)x2＝2；(2)4x2－1＝0.
解：(1)由平方根的定义得x＝±；(2)4x2＝1，x2＝，由平方根的定义得x＝±.
知识模块一　运用直接开平方法解一元二次方程
探究新知
试一试
求 x2 = 9 中 x 的值.
开平方，得 x=±
x = ±3
所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根：
x1 = 3，x2 = –3.
像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法.
练一练：
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0.
解：（1）开平方，得x=±
x = ±6
所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6.
（2）原方程可化为 x2 = 0.81
x = ±0.9
所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9.
开平方，得x=±
归纳总结
对于一元二次方程 x2 = p：
（1）当 p ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=, x2=－；
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
（3）当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有x2 0，所以方程无实数根.
典例精析
例1 用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
解：（1）两边同除以 3，得
x2 = 4.
开平方，得
x = ±2.
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2.
可以怎
样解这个方程？
由方程 x2 = 25 得 x = ±5.
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
依此类推：由 (x + 3)2 = 5 可得
x+3 = ±.
即x+3 = 或x+3 = .
x1 =3 +
x2 =3.
解：（2）开平方，得 x+3 = ±
所以原方程的根是x1 =3 +
解方程 (x + 3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程，即得原方程的解.
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
x+3 = ±.
练一练：
（1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0.
解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16
开平方，得 x + 1 = ±4
所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5.
（2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2
所以原方程的根是 x1 = +
开平方，得 x – 2 = ±
归纳总结
对于一元二次方程 (x + n) 2 = p：
（1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根
x1 = +
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n；
（3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根.
典例精析
范例1：直接开平方解下列方程．
(1)(x－2)2＝9； (2)3(x－1)2－108＝0.
解：x－2＝±3，
x1 ＝5，
x2 ＝－1.
解：3(x－1)2＝108，
(x－1)2＝36，
x－1＝±6，
x1＝7，x2＝－5.
仿例：下列方程中，适合用直接开平方法求解的个数为
( )
①x2＝1；②(x－1)2＝3；③(x－3)2＝2；
④y2－y－3＝0；⑤x2＝x＋2；⑥3x2＋2＝x2＋3.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
知识模块二　配方法
先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫作配方法．
配方法：
配方法的基本思路：
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法.
练一练：
填空：
（1）x2 – 8x + ( )2 = (x – )2；
（2）y2 + 5y + ( )2 = (y + )2；
（3）x2 – x + ( )2 = (x – )2；
（4）x2 + px + ( )2 = (x + )2.
4
4
例2 用配方法解下列方程：
典例精析
（1） x2 – 4x – 1 = 0；（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：(1) 方程的二次项系数为 1，直接运用配方法.
解：（1）移项，得
x2 – 4x = 1.
配方，得
x2 – 2×x×2 + ____ = 1 + ____.
4
4
则
(x – ____) 2 = ____.
2
5
开平方，得 _____________.
所以原方程的根是 x1 = _______，x2 = _______.
x – 2 = ±
+2
+2
（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：先将方程的二次项系数化为 1，再配方.
解：（2）先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以 2，得
移项，得
x=0
x=
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是 = ， = .
) =
x =
=±
归纳总结
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
最关键的步骤
练一练：
解下列方程：
（1）x2 = 25；（2）(2x – 2)2 = x2；
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（3）x ； （4）x2 – 3x – 2 = 0；
直接开平方法
配方法
x = ±5
所以原方程的根是
x1 = 5，x2 = – 5.
（2）开平方，得
2x – 2 = x 或 2x – 2 = – x
所以原方程的根是
解：（1）开平方，得
x = ±
= ， = .
（3）整理，得(x + ) =0
开平方，得 x + =0
所以原方程的根是 x =－.
（3）x ； （4）x2 – 3x – 2 = 0；
（3）x ； （4）x2 – 3x – 2 = 0；
（4）移项，得 x2 – 3x = 2
配方，得
则) =
开平方，得 =±
所以原方程的根是 = ， = .
=
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（5）方程两边同除以 3，得 + =0
移项，得 =
配方，得=
则) =
开平方，得 =±
所以原方程的根是 = ， = .
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（6）方程两边同除以 2，得 + =0
移项，得 =－
配方，得=
则) =
开平方，得 =±
所以原方程的根是 = ， =.
典例精析
范例2：用配方法解方程：
(1)x2＋12x－15＝0； (2)2x2－7x－4＝0.
解：移项，得x2＋12x＝15.
配方，得(x＋6)2＝51.
开平方，得x＋6＝±.
所以原方程的根是x1＝－6＋，
x2＝－6－；
(2)2x2－7x－4＝0.
解：原方程两边同除以2，
得x2－x－2＝0.
配方，得（x－）2＝.
开平方，得x－＝±.
所以原方程的根是x1＝4，x2＝－.
仿例1：一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为 ( )
A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15
仿例2：将一元二次方程x2－2x－4＝0用配方法化成(x＋m)2＝n的形式为______________，方程的根为______________________.
C
(x－1)2＝5
x1＝1＋，x2＝1－
仿例3：三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为( )
A．13　　　B．15　　　C．18　　　D．13或18
A
范例3：用配方法解方程：
(1)2x2－7x＋6＝0；
解：x2－x＝－3，
(x－)2＝，
x1＝2，x2＝；
(2)2x2＝5x－4.
解：x2－x＝－2，
(x－)2＝－，
因为实数的平方不含负数，
所以x取任何实数上式都
不成立，即原方程无实根．
随堂练习
1. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x – 6 = – 4 B. x – 6 = 4
C. x + 6 = 4 D. x + 6 = – 4
D
2. 方程 3x2 + 9 = 0 的根为（ ）
A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根
D
3. 若 8x2 – 16 = 0，则 x 的值是 .
4. 解下列方程：
（1）2x2 – 8 = 0；（2）9x2 – 5 = 3.
解：（1）原方程可化为 x2 = 4
开平方，得 x = ±2
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2.
所以原方程的根是，
开平方，得
（2）原方程可化为x2=
（3）(x + 6)2 – 9 = 0；（4）3(x – 1)2 – 6 = 0；
解：（3）原方程可化为 (x + 6)2 = 9
开平方，得 x + 6 = ±3
所以原方程的根是 x1 = – 3，x2 = – 9.
所以原方程的根是 ，.
开平方，得
（4）原方程可化为 (x – 1)2 = 2
（5）x2 – 4x + 4 = 5；（6）9x2 + 5 = 1.
解：（5）原方程可化为 (x – 2)2 = 5
所以原方程的根是 ，.
开平方，得
（6）原方程可化为=－
∵－0， ∴原方程无实数根.
5. 填空：
（1）x2 – x + ( ) = (x – )2；
（2）y2 + 6y + ( ) = (y + )2；
（3）x2 – x + ( ) = (x – )2；
（4）4x2 + 4x + ( ) = (2x + )2.
9
3
1
1
6. 当a为何值时，多项式 a2 + 2a + 18 有最小值？求出这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式 = (a + 1)2 + 17.
∵(a + 1)2 0，
∴当 a = – 1时，原式有最小值，为 17.
7. 有一根 20 m 长的绳，怎样用它围一个面积为 24 m2 的矩形？
解：设围成的矩形的一边长为 x m，则另一边为 (10 – x) m.
根据题意，得 x(10 – x) = 24，
解得 x1 = 6，x2 = 4.
当 x = 6 时，10 – x = 4；当 x = 4 时，10 – x = 6.
所以围成矩形的长和宽分别为 6 m 和 4 m 即可.
课堂小结
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
课堂作业
完成对应课时练习。

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