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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.2 一元二次方程的解法
17.2.2 公式法
导入新课
1.用配方法解方程：6x2－7x＋1＝0.
解：移项，得6x2－7x＝－1.
二次项系数化为1，得x2－x＝－.
配方，得（x－）2＝.
开平方，得x－＝±.
所以原方程的根是x1＝1，x2＝.
(1)移项；
2.归纳用配方法解一元二次方程的步骤：
(2)二次项系数化为1；
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(5)如果右边是非负数，则可以直接开平方求解，若右边是负数，此方程无解．
知识模块一　一元二次方程求根公式的推导
探究新知
如何解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ？
我们能否用配方法得出它的解呢？
思考：
因为 a ≠ 0，所以把方程两边都除以 a，得
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
移项，得 x2x =－
配方，得 x2x＋()2= －
则 (x+)2= ①
两边能直接开方吗？
x2x＋ = 0
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
式子 b2 – 4ac 的值有以下三种情况：
① 当 b2 – 4ac < 0 时，
x 取任何实数都不能使式子左边< 0，因此方程无实数根
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
③ 当 b2 – 4ac > 0 时，
可直接开平方，方程有实数根
(x+)2= ①
＜0
＝0
＞0
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
当 b2 – 4ac 0 时，
将方程①两边开平方，得
化简、整理，得
因此，
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
(x+)2= ①
≥0
x+ =±
x=－ ±
x=
归纳总结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：
x=
典例精析
范例1：在方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为 ( )
A．1 B．－1 C．17 D．－17
仿例：把方程(2x－1)(x＋3)＝x2＋1化为ax2＋bx＋c＝0的形式是_____________，b2－4ac＝____，方程的根是____________________________.
C
x2＋5x－4＝0
41
x1＝，x2＝
知识模块二　用公式法解一元二次方程
要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定 a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 这种解法叫作公式法.
例2 用公式法解下列方程：
（1）2x2 + 7x – 4 = 0；（2）x2 + 3 = 2x
分析：(1) 先确定二次项系数、一次项系数、常数项的值，并比较 b2 – 4ac 与 0 的大小.
解：（1）∵ a = 2，b = 7，c = – 4，
∴ b2 – 4ac = 72 – 4×2×(– 4) = 81 > 0.
代入求根公式，得 x=
所以原方程的根是 x1=
（2）x2 + 3 = 2x
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入公式运算.
解：（2）将原方程化为一般形式，得
∵ a = 1，b =－2，c = 3，
∴ b2 – 4ac =(－2)2– 4×1×3 = 0.
代入求根公式，得 x = =
所以原方程的根是 x1 =x2=
x2 －2x+ 3 =0.
方程有两个相等的实数根(如 p)，应写为 x1 = x2 = p，而不是 x = p.
例3 解方程：x2+x－1=0.（精确到0.001）
解：a=1，b=1，c=1，代入求根公式，得
x =
=
用计算器求得 ≈2.2361.
∴ x1 ≈0.618， x2 ≈－1.618.
练一练：
解关于 x 的方程： 2x2 – mx – n2 = 0.
解：∵ a = 2，b = – m，c = – n2，
∴ b2 – 4ac = (– m)2 – 4×2×(– n2) = m2 + 8n2 0.
代入求根公式，得 x = =
所以原方程的根是 x1＝，x2＝
归纳总结
用配方法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
确定 a，b，c 的值.
3
求出 b2 – 4ac 的值，比较其与 0 的大小.
4
若 b2 – 4ac 0，则利用求根公式求解；若 b2 – 4ac < 0，则方程无实数根.
练一练：
用公式法解下列方程：
（1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（3）t2 + 2t +2 = 0 ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
解：（1）∵ a = 3，b = 5，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×3×(– 2) = 49 > 0.
代入求根公式，得 x = =
所以原方程的根是 x1＝，x2＝
（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（2）∵ a = 2，b = 5，c = – 12，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×2×(– 12) = 121 > 0.
代入求根公式，得x = =
所以原方程的根是x1＝，x2＝
（3）t2 + 2t +2 = 0 ；
（3）∵ a = 1，b =2，c = 2，
∴ b2 – 4ac =(2)2– 4×1×2 = 0.
代入求根公式，得t = =
所以原方程的根是t1＝t2＝
（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
（4）∵ a = 1，b = – 3，c = – 1，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×1×(– 1) = 13 > 0.
代入求根公式，得x =
用计算器求得 ≈3.6056
所以原方程的根是 ≈3.3，≈ –0.3.
典例精析
范例2：用公式法解下列方程：
(1)4x2＋4x＋10＝1－8x；
解：原方程整理，得4x2＋12x＋9＝0.
∵a＝4，b＝12，c＝9，
∴b2－4ac＝122－4×4×9＝0.
代入求根公式，得x＝＝.
所以原方程的根是x1＝x2＝－.
(2)－t2＋4t＝8.
解：将原方程化为一般形式，得－t2＋4t－8＝0.
∵a＝－1，b＝4，c＝－8，
∴b2－4ac＝42－4×(－1)×(－8)＝－16.
∵－16＜0，∴原方程没有实数根．
仿例1：已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当y1＝y2时，x的值为_____________.
仿例2：方程y2＋2＝2y的根是______________.
仿例3：已知a、b为实数，若(a2－b2)(a2－b2－2)＝8，则a2－b2的值是( )
A．4　 B．－2　　C．4或－2 　D．－4或2
1或－
y1＝y2＝
C
随堂练习
1. 利用求根公式求 5x2 + = 6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
C
A. 5，，6 B. 5，6，
C. 5，– 6， D. 5，– 6， –
2. 用公式法解下列方程：
（1）4x2 – 12x = 3；
∵ a = 4，b = – 12，c = – 3，
∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×4×(– 3) = 192 > 0.
代入求根公式，得x＝＝＝
所以原方程的根是x1＝，x2＝
解：（1）将方程化为一般形式，得 4x2 – 12x – 3 = 0
（2）∵ a = 3，b = – 6，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = (– 6)2 – 4×3×(– 2) = 60 > 0.
代入求根公式，得x＝＝＝
所以原方程的根是x1＝，x2＝
（2）3x2 – 6x – 2 = 0.
3. 在正数范围内有一种运算“*”，其运算规则为 a*b = a + b2. 根据这个规则，求方程 x*(x + 1) = 5 的根.
解：由题意得，x*(x + 1) = x + (x + 1)2 = 5.
代入求根公式，得x＝＝
所以化简后方程的根是 x1 = – 4，x2 = 1.
因为“*”是在正数范围内， x1 = – 4 不符题意，舍去.
所以原方程的根是 x = 1.
化简、整理，得 x2 + 3x – 4 = 0.
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：
x=
课堂作业
完成对应课时练习。

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