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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.3 一元二次方程根的判别式
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1.平方根的性质是什么？
答：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
2.解下列方程：
(1)x2－3x＋2＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)x2＋3＝0.
解：(1)(x－2)(x－1)＝0，x1＝2，x2＝1；
(2)(x－1)2＝0，x1＝x2＝1；
(3)∵x2＝－3，∴x取任何数，其平方都不为负数，此方程无解．
3.思考：一元二次方程根的情况有几种？
答：有三种．有两个不等根；有两个相等根；无实根．
知识模块　一元二次方程根的判别式
探究新知
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
b2 – 4ac 的值有三种情况：
① b2 – 4ac > 0
② b2 – 4ac = 0
③ b2 – 4ac < 0
(x+)2=
① 当 b2 – 4ac > 0 时，＞0
因此，方程有两个不相等的实数根：
(x+)2=
x+=
x1＝，x2＝.
② 当 b2 – 4ac = 0 时， = 0
(x+)2=
x+=
x1＝x2＝.
③ 当 b2 – 4ac < 0 时， ＜ 0
x 取任何实数都不能使(x+)2 ＜
因此，方程没有实数根.
(x+)2=
(x+)2 ＜
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定.
归纳总结
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
此结论
反过来成
立吗？
反过来也成立
例 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）2x2 +x+1=0.
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式.
解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.
因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）2x2 +x+1=0.
所以原方程没有实数根.
（3）因为Δ =()2－4×2×1=－5＜0，
典例精析
范例1：下列方程没有实数根的是 ( )
A．x2＋4x＝10　　　　B．3x2＋8x－3＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12
仿例：当4c＞b2时，方程x2－bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实数根 D．不能确定
C
C
范例2：一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是( )
A．m＞1　　B．m＝1　　C．m＜1　　D．m≤1
仿例1：已知一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤ B．k＜
C．k≤且k≠1 D．k≥且k≠1
D
C
仿例2：已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y＝(2m－3)x－4m＋7能否通过点A(－2，4)，并说明理由．
解：Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋2)＞0，∴m＞，把(－2，4)代入直线表达式得m＝＜，∴不经过．
练一练：
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0；
（3）x(x + 1) = 3； （4）3y2+25=10y.
解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0，
所以原方程没有实数根.
（3）x(x + 1) = 3； （4）3y2+25=10y.
（3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
因为Δ =(－10y) 2－4×3×25=0，
（4）原方程可变形为3y2－10y + 25=0.
2. 已知关于 x 的方程 x2 – 3x + k = 0. k 取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：根据题意，得 Δ = (–3)2 – 4×1×k = 9 – 4k.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则 Δ > 0.
所以 9 – 4k > 0.
解得k＜.
即当k＜时，方程有两个不相等的实数根.
（2）若方程有两个相等的实数根，则 Δ = 0.
所以 9 – 4k = 0.
解得k =.
即当k =时，方程有两个相等的实数根.
（3）若方程没有实数根，则 Δ < 0.
所以 9 – 4k < 0.
解得k ＞.
即当k ＞时，方程没有实数根.
随堂练习
1. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根，则 b2 – 4ac 满足的条件是（ ）
A. b2 – 4ac = 0 B. b2 – 4ac ＞ 0
C. b2 – 4ac ＜ 0 D. b2 – 4ac ≥ 0
D
2. 已知一元二次方程：① x2 + 2x + 3 = 0，② x2 – 2x – 3 = 0. 下列说法正确的是（ ）
①②都有实数解
①无实数解，②有实数解
①有实数解，②无实数解
①②都无实数解
B
3. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）16x2 – 24x + 9 = 0；（2）3x2 + 10 = 2x2 + 8x；
解：（1）因为 Δ = (–24)2 – 4×16×9 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（2）原方程可变形为 x2 – 8x + 10 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 Δ = (–8)2 – 4×1×10 = 24 > 0，
（3）2x2 －3x－ = 0 ；（4）x2 －x+9=0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
（3）因为Δ = (－3)2－4×2×(－)=21＞0，
所以原方程没有实数根.
（4）因为Δ = (－)2－4×1×9=－4＜0，
4. 无论 p 取何值，方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 总有两个不相等的实数根吗？说明你的理由.
解：原方程可变形为 x2– 5x + (6 – p2) = 0.
所以 Δ = (–5)2 – 4×1× (6 – p2)
= 1 + 4p2
因为 4p2 ≥ 0，所以 1 + 4p2 ≥ 1 > 0.
所以无论 p 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 (x – 3)(x – 2) – p2 = 0 有两个不相等的实数根.
5. 求证：关于 x 的方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根.
证明：根据题意，得
Δ = (2k + 1)2 – 4×1×(k – 1) = 4k2 + 5.
因为 4k2 ≥ 0，所以 4k2 + 5 ≥ 5 > 0.
所以无论 k 取何值，Δ > 0 都成立，即方程 x2 + (2k + 1)x + k – 1 = 0 有两个不相等的实数根.
6. k 取什么值时，关于 x 的方程 4x2 – (k + 2)x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：根据题意，得
Δ = (k + 2)2 – 4×4×(k – 1) = k2 – 12k + 20.
因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ = 0.
所以当 k 取 10 或 2 时，方程 4x2 – (k + 2) x + k – 1 = 0 有两个相等的实数根.
即 k2 – 12k + 20 = 0.
① 当 k1 = 10 时，原方程为 4x2 – 12x + 9 = 0.
将方程左边分解因式，得 (2x – 3)2 = 0.
开平方，得 2x – 3 = 0.
所以原方程的根是x1＝x2＝
② 当 k2 = 2 时，原方程为 4x2 – 4x + 1 = 0.
将方程左边分解因式，得 (2x – 1)2 = 0.
开平方，得 2x – 1 = 0.
所以原方程的根是x1＝x2＝
4. 关于 x 的一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根，求 m 的取值范围.
解：根据题意，得
Δ = (–2m)2 – 4×(m – 1)×m = 4m.
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0.
所以当 m ≥ 0 且 m ≠ 1 时，一元二次方程 (m – 1)x2 – 2mx + m = 0 有实数根.
即 m ≥ 0.
又因为方程为一元二次方程，所以 m – 1 ≠ 0.
解得 m ≠ 1.
课堂小结
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
课堂作业
完成对应课时练习。

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