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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.2 一元二次方程的解法
17.2.3 因式分解法
导入新课
1.一元二次方程的求根公式是什么？
答：求根公式x＝x=(a≠0，b2－4ac≥0).
2.把下列各式因式分解：
(1)2x2－x；(2)x2－16y2；(3)9a2－24ab＋16b2
解：(1)原式＝2x(x－1)；
(2)原式＝(x＋4y)(x－4y)；
(3)原式＝(3a－4b)2.
3.如果a·b＝0，则可得____________.
a＝0或b＝0
4.因式分解的方法有哪些？
（1）提公因式法：
ma + mb + mc = m(a + b + c)
（2）公式法：
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2
（3）十字相乘法：
x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q)
5.把下列各式因式分解：
（1）2x2 – x；
（2）x2 – 16y2；
（3）9a2 – 24ab + 16b2；
（4）x2 + 3x – 10.
x(2x – 1)
(x + 4y)(x – 4y)
(3a – 4b)2
(x + 5)(x – 2)
知识模块一　因式分解法解一元二次方程
探究新知
你会用什么方法解方程 x2 = 9？
直接开平方法
先变形为一般形式
x2 – 9 = 0
分解因式
(x + 3)(x – 3) = 0
如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反过来，如果两个因式中有一个等于 0，那么它们的积就等于 0.
思考：
(x + 3)(x – 3) = 0
因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0.
x2 = 9
解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
化归方法 这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
1.方程的一边为 0；
2.另一边能分解成两个一次因式的积.
公式法
例4 解方程： x2 – 2x = 3x-6.
移项，提取公因式，得 (x – 2)(x – 3) =0.
因此，有 x – 2 = 0 或 x – 3 = 0.
解方程，得 x1 = 2，x2 = 3.
解：方程可化为 x(x – 2)=3(x – 2)
例5 解方程： (x + 4)(x – 1) =6.
把方程左边分解因式，得 (x + 5)(x – 2) =0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0.
解方程，得 x1 = －5，x2 = 2.
解：将原方程化为一般形式，得 x2+ 3x – 10= 0
分析：方程右边不为 0，左边为两个多项式相乘，先将方程化为一般形式，再尝试因式分解.
– 10 = (– 2)×5，3 = (– 2) + 5
十字相乘法
例6 解方程： x2 = x .
因此，有 x = 0 或 x – 1 = 0.
解方程，得 x1 = 0，x2 = 1.
解：移项，提取公因式，得 x(x – 1) = 0
若方程两边同除以x，得x=1.故方程的根为x=1.这样对吗？为什么
分析：方程左右两边都有 x，可先移项，再用提公因式法分解因式.
方程两边不能除以含有未知数的整式，否则会失根.
归纳总结
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
因式分解，将方程左边分解为一次因式相乘的形式.
3
将方程降次为两个一元一次方程的形式 mx + n = 0 (m ≠ 0)
4
解两个一元一次方程，求出方程的根.
提公因式法
公式法
十字相乘法
典例精析
范例1：用因式分解法解方程：
(1)(2x－1)2－10(2x－1)＋25＝0；
解：把方程左边因式分解，得
(2x－1－5)2＝0，
(2x－6)2＝0，
所以原方程的根是x1＝x2＝3；
(2)(x－1)(x＋2)＝2x＋4.
解：移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，
提取公因式，得(x＋2)(x－1－2)＝0，
因此，有x＋2＝0或x－3＝0，
所以原方程的根是x1＝－2，x2＝3.
仿例1：方程(x－3)(x－1)＝x－3的解是( )
A．x＝2　　　　　　B．x＝3
C．x＝3或x＝1 D．x＝3或x＝2
仿例2：经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则x2－3x－4＝0的解为( )
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4
D
B
仿例3：用因式分解法解下列方程：
(1)x2－x＝0；　　　 (2)(3x＋2)2－4x2＝0；
解：x1＝0，x2＝；　　
解：x1＝－，x2＝－2；
(3)5(2x－1)＝(1－2x)(x＋3)； (4)2(x－3)2＋(3x－x2)＝0.
解：x1＝，x2＝－8；
解：x1＝3，x2＝6.
知识模块二　选用适当方法解一元二次方程
范例2：请选择合适的方法填在横线上．
(1)解方程x2＝2x，用___________法较合理；
(2)解方程7x2－12x＋2＝0，用_____法较合理；
(3)解方程x2－2x－1999＝0，用____法较合理；
(4)解方程16(x－1)2＝9，用___________法较合理．
典例精析
因式分解
公式
配方
直接开平方
仿例：对方程(1)(2x－1)2＝5；(2)x2－x－1＝0；(3)x（x－）＝－x，选择合适的解法是 ( )
A．因式分解法、公式法、因式分解法
B．直接开平方法、公式法、因式分解法
C．公式法、配方法、公式法
D．直接开平方法、配方法、公式法
B
练一练：
1.解下列方程：
（1）(x－)()=0；（2）4x2 – 3x = 0.
解：（1）由题意，得 x－＝0.
所以原方程的根是 x1＝，x2＝.
（2）提取公因式，得 x(4x – 3) = 0.
因此，有 x = 0 或 4x – 3 = 0.
所以原方程的根是 x1＝，x2＝.
（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；
（3）将原方程化为一般形式，得 x2 – 2x – 3 = 0.
把方程左边分解因式，得 (x + 1)(x – 3) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 3 = 0.
所以原方程的根是 x1 = – 1，x2 = 3.
（4）把方程左边分解因式，得 (x + 1)(x – 7) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是 x1 = – 1，x2 = 7.
不能直接两边同除以(x + 1)!
（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.
（5）将原方程化为一般形式，得t2 + 3t – 28 = 0.
把方程左边分解因式，得(t + 7)(t – 4) = 0.
因此，有 t + 7 = 0 或 t – 4 = 0.
所以原方程的根是 t1 = – 7，t2 = 4.
（6）将原方程化为一般形式，得 x2 + 4x – 12 = 0.
把方程左边分解因式，得 (x + 6)(x – 2) = 0.
因此，有 x + 6 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是x1 = – 6，x2 = 2.
方法 适用的方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
所有一元二次方程
解一元二次方程的方法及适用类型
x2 = p或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p 0)
所有一元二次方程
归纳总结
随堂练习
1. 解下列方程：
（1）x2 – 7x = – 12；（2）x2 – 2x – 8 = 0；
（3）x(x – 4) = x – 4；（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；
（5）(x + 2)2 = 3(2 + x) ；（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.
解：（1）将原方程化为一般形式，得 x2 – 7x + 12 = 0.
把方程左边分解因式，得 (x – 3)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = 4.
（1）x2 – 7x = – 12；
（2）x2 – 2x – 8 = 0；（3）x(x – 4) = x – 4；
（2）把方程左边分解因式，得(x + 2)(x – 4) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是x1 = – 2，x2 = 4.
（3）移项、提取公因式，得(x – 1)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 1 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是x1 = 1，x2 = 4.
（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；（5）(x + 2)2 = 3(2 + x)；
（4）提取公因式，得 (x – 2)(x – 7) = 0.
因此，有 x – 2 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = 7.
（5）移项、提取公因式，得 (x + 2)(x – 1) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = – 2，x2 = 1.
（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.
（6）移项、分解因式，得
3(x + 1)(x – 1) – 2(x – 1)2 = 0.
提取公因式，得
(x – 1)[3(x + 1) – 2(x – 1)] = 0.
(x – 1)(x + 5) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = – 5，x2 = 1.
2. 分别用公式法和因式分解法解方程x2 – 6x + 9 = (5 – 2x)2.
公式法：原方程化为一般形式，得 3x2 – 14x + 16 = 0.
代入求根公式，得x= =
所以原方程的根是 x1＝，x2＝
因式分解法：原方程可化为 (x – 3)2 – (5 – 2x)2 = 0.
分解因式，得[(x – 3) + (5 – 2x)][(x – 3) – (5 – 2x)] = 0
即 (2 – x)(3x – 8) = 0
因此，有 2 – x = 0 或 3x – 8 = 0
所以原方程的根是x1＝，x2＝
3. 若一个三角形的三边长均满足方程 x2 – 7x + 12 = 0，求此三角形的周长.
解：把方程左边分解因式，得(x – 3)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是x1 = 3，x2 = 4.
∵三角形三边长均为方程的根，所以有以下几种情况：
① 三角形三边长为 3、3、3，周长为 9；
② 三角形三边长为 4、3、3，周长为 10；
③ 三角形三边长为 4、4、3，周长为 11；
④ 三角形三边长为 4、4、4，周长为 12.
课堂小结
因式分解法
概念
依据
步骤
用因式分解法解方程
提公因式法
若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0.
公式法
十字相乘法
课堂作业
完成对应课时练习。

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