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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用（1）
导入新课
1.如图，长方形的长为20 m，宽为15 m，面积为300 m2.如果在其中修一条宽2 m的小路，剩下的面积是_______.如果小路的宽是x m，那么剩下的面积是____________.
270 m2
(300－15x)m2
2.某工厂一月份的产值是100万元，二月份比一月份增长10%，那么二月份的产值是_______，如果三月份保持这个增长率，那么三月份的产值是_______，如果增长率为x，那么，二月份的产值和三月份的产值分别是__________万元，_________万元．
110万元
121万元
100(1＋x)
100(1＋x)2
列方程解应用题的一般步骤：
审
找
列
解
验
答
弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数
分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）
根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程
解这个方程，求出未知数的值
检查所得的值是否正确和符合实际情形
写出答案（包括单位）
知识模块一　平均增长率问题
探究新知
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？
降价率是降低的价格与原价的比值：
降价率 = ×100%
原价 – 现价
原价
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
分析：现价 = 原价(1 – 降价率)
设该药品两次降价的平均降价率是 x.
原价
27
第一次降价后的价格
27(1 – x)
降价率x
第二次降价后的价格
27(1 – x)2
降价率x
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得 27(1 – x)2 = 9
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42.
x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%.
答：该药品两次降价的平均降价率是 42%.
整理，得 (1 – x)2=
根据问题的实际意义，平均降价率应是小于 1 的正数.
练一练：
两年前生产 1 t 甲药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲、乙药品成本的年平均下降率分别是 x，y，
根据题意，得 5000(1 – x)2 = 3000，6000(1 – y)2 = 3600
解方程，得x1＝，x2＝.
答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样大.
x2＝.不合题意，所以x.
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
例2 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50%（即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ）. 现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的. 求新品种花生产量的增长率.
分析：设新品种花生产量的增长率为 x.
原花生 新品种花生
产量/公顷 3000 3000(1 + x)
出油率 50% 50%(1+x)
解 设新品种花生产量的增长率为 x，根据题意，得
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 3.2.
x2 = – 3.2 不合题意，所以 x = 20%.
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
整理，得 25x2 + 75x – 16 = 0
3000(1+x)·[50%(1+x)]=1980
练一练：
某磷肥厂 4 月份生产磷肥 500 t，因管理不善，5 月份的磷肥产量减少了 10%；从 6 月份起，工厂强化了管理，产量逐月上升，7 月份产量达到 648 t. 求该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率.
解：设该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 x，
根据题意，得 500(1 – 10%)·(1 + x)2 = 648
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2.
x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%.
答：该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 20%.
归纳总结
平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2
……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n
平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2
……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n
增长率可以大于100%
降低率不能大于100%
典例精析
范例1：某农产品加工厂计划两年后使产量增加58%，若平均每年增长率为x，则依题意可列方程为 ( )
A．x2＝58% B．(1＋x)2＝58%
C．(1＋x)2＝1＋58% D．58%(1＋x)2＝1
C
仿例1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )
A．55(1＋x)2＝35 B．35(1＋x)2＝55
C．55(1－x)2＝35 D．35(1－x)2＝55
C
仿例2：新世纪购物中心今年3月份的营业额为500万元，四月份营业额比三月份减少10%，从五月份起逐月上升，六月份达到648万元，求五、六月份营业额的月平均增长率为多少．
解：设五、六月份营业额的月平均增长率为x，
500(1－10%)(1＋x)2＝648，
x1＝0.2，x2＝－2.2（舍去）.
答：五、六月份营业额的月平均增长率为20%.
知识模块二　图形面积问题
x
例3 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
审
找
20
32
(单位：m)
x
解 设小路的宽是 x m，根据题意，得
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
则 (x – 1)(x – 35) = 0
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽应为 1 m.
列
解
验
答
审
找
列
解
验
答
我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几步. 大意是：长方形面积 864 平方步，宽比长少 12 步，问长、宽共几步.（注：步为当时的长度单位）
解：设长方形的长是 x 步，则宽是 (x – 12) 步.
根据题意，得 x(x – 12) = 864
解方程，得 x1 = 36，x2 = – 24.
x2 = – 24 不合题意，所以 x = 36，所以 x – 12 = 24.
答：长方形的长为 36 步，宽为 24 步.
练一练：
x
20
(单位：cm)
20
x–40
x
例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2 880 cm3 的开口方盒. 原金属片的边长是多少？
方盒的高：
20 cm
方盒的底边长：
(x – 40) cm
方盒的底面积：
(x – 40)2 cm2
方盒的容积：
20(x – 40)2 cm3
解 设原金属片的边长是 x cm，则方盒的底边长是 (x – 40) cm. 根据题意，得
20(x – 40)2 = 2880
整理，得 (x – 40)2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28.
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52.
答：原金属片的边长是 52 cm.
x
20
(单位：cm)
20
x–40
练一练：
一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的. 求这根水管原来的内壁直径.
等量关系：S现在的流通截面=
x
解：设原来的内壁直径是 x mm，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 18，x2 = 3.6.
x2 = 3.6 不合题意，所以 x = 18.
答：这根水管原来的内壁直径是 18 mm.
利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
归纳总结
典例精析
范例2：用一块长80 cm，宽60 cm的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x cm的小正方形，然后做成底面积为1 500 cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得 ( )
A．x2－70x＋825＝0　 B．x2＋70x－825＝0
C．x2－70x－825＝0 D．x2＋70x＋825＝0
A
仿例：如图，在长为10 m，宽为8 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为48 m2，则道路的宽为____m.
2
知识模块三　数字问题
如果两个连续偶数的积是 288，求这两个数.
分析：
较小的偶数
x
较大的偶数
x + 2
积为288
x(x + 2) = 288
解：设前一个偶数是 x ，则后一个偶数是是 (x + 2) .
根据题意，得 x(x + 2) = 288
解方程，得 x1 = 16，x2 = – 18.
答：这两个数分别为 16 和 18，或 – 18 和 – 16.
所以 x1 + 2 = 18，x2 + 2 = – 16.
练一练：
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.
分析：
原两位数
十位
个位
x
5 – x
10x + (5 – x)
个位十位对调
积为 736
现两位数
十位
个位
5 – x
x
10(5 – x) + x
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (9 – x).
根据题意，得 [10x + (9 – x)][10(9 – x) + x] = 2268
解方程，得 x1 = 6，x2 = 3，则 9 – x1 = 3，9 – x2 = 6.
所以原来的两位数是 63 或 36.
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.
解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法.
设元的方法 方法解读
直接设元法 设待求量为未知数
间接设元法 设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量
辅助设元法 引入辅助未知数，并在解题过程中消去
典例精析
范例3：两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为x，可得方程为_________________.
x(x＋2)＝168
仿例：一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数．
解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为9－x，
根据题意，得(9－x)x＝2×9，
解得x1＝3或x2＝6，
当x＝3时，9－x＝9－3＝6，此时这个两位数是6×10＋3＝63；
当x＝6时，9－x＝9－6＝3，此时这个两位数是3×10＋6＝36.
故这个两位数为63或36.
随堂练习
1. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季,第一个月的销售额为 8 万元，第三个月的销售额为 11.52 万元，设这两个月销售额的月平均增长率为 x，则根据题意，可列方程为（ ）
8(1 + 2x) = 11.52
2×8(1 + x) = 11.52
8(1 + x)2 = 11.52
8(1 + x2) = 11.52
C
2. 一个病菌，经过两轮分裂后变成了 100 个，那么在每轮分裂中，一个病菌可以分裂为（ ）
A. 8 个 B. 9 个 C. 10 个 D. 11 个
C
3. 已知一个凸多边形的对角线条数是 14，那么这个多边形的边数是________.
7
4. 某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置. 在疫情排查过程中，某农场第一天发现 3 只鸡发病，两天后发现共有 192 只鸡发病.
（1）每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡？
（2）若疫情得不到有效控制，则 3 天后鸡的发病数会超过 1500 只吗？
开始 第 1 天后 第 2 天后 第 3 天后 ···
3 ···
3 + 3x，即 3(1 + x)
(3 + 3x) + (3 + 3x)x = 3(1 + x)2 = 192
3(1 + x)3 = 192(1 + x)
解：（1）设每只发病的鸡平均每天传染 x 只鸡，
根据题意，得 3(1 + x)2 = 192
解方程，得 x1 = 7，x2 = – 9.
x2 = – 9 不合题意，所以 x = 7.
答：每只发病的鸡平均每天传染 7 只鸡.
（2）192×(1 + 7) = 1536 (只)
1536 > 1500
所以若疫情得不到有效控制，则 3 天后鸡的发病数会超过 1500 只.
5. 如图，在长为 50 m，宽为 38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪. 要使草坪的面积为 1260 m2，道路的宽应为_____m.
4
(50 – 2x)(38 – 2x) = 1260
2. 如图是一个三角形点阵，从上向下有无数行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点. 若 10 是前 4 行点数之和，则 465 是前（ ）行点数之和.
A. 20 B. 25 C. 28 D. 30
D
x(x+1)=465
课堂小结
面积问题：
利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
数字问题：
解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数.
课堂作业
完成对应课时练习。

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