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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
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1.一元二次方程的一般形式是什么？
答：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
2.一元二次方程的求根公式是什么？
答：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，求根公式为x＝(b2－4ac≥0).
它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？
知识模块　一元二次方程根与系数的关系
探究新知
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？
思考：
x1＝ x2＝
x1＝ x2＝
x1+ x2 ＝ +
＝ =
x1x2 ＝ ·
＝ = =
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么 x1+ x2 ＝ x1x2 ＝
韦达定理
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么 x1+ x2 ＝ x1x2 ＝
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（1）x1 + x2 = – =3，x1x2= =1.
练一练：
（2）x1 + x2 = – = ，x1x2= =.
（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.
（3）x1 + x2 = – ，x1x2= =.
x1 + x2 = – = ，x1x2= =.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0.
典例精析
例1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为，k 的值为 7.
还有其他解法吗？
－4+x2=
－4x2=
x2 =
=
方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.
2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0
28 – 4k = 0
k = 7
2x2 + 7x – 4 = 0
例1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
x1＝，x2＝
练一练：
已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为，m 的值为 16.
1+x2=
x2=
x2 =
=
例2 方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.
解：由韦达定理，得x1 + x2 = ，x1x2= .
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
=()2+4×
= .
∴x1 – x2=± .
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由韦达定理，得x1 + x2 =－ ，x1x2= (a≠0).
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
=()24×
=
∴|x1 – x2|=.
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由求根公式，得x1＝ ， x2＝.
∴|x1 – x2|=.
=.
练一练：
设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)；
（2） + ;
（3）|x1 – x2|.
解：由韦达定理，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)； （2） + ; （3）|x1 – x2|.
x1 + x2 =－ ，x1x2=－.
=－－2+1
=－
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)； （2） + ; （3）|x1 – x2|.
（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
（2） + =
=
=
=
=
=
∴|x1 – x2|=.
引申：对于 ax2 bx c 0（a 0， 0）
（1）若两根互为相反数，则 b 0；
（2）若两根互为倒数，则 a c；
（3）若一根为 0，则 c 0；
（4）若一根为 1，则 a b c 0；
（5）若一根为 1，则 a b c 0；
（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
你能自己推导出这些结果吗？
归纳总结
典例精析
范例1：若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋3＝0的两个根，则x1＋x2和x1x2的值分别是 ( )
A．－10，3 B．10，3 C．－3，10 D．3，－10
仿例：(1)已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则＋的值是_______；
(2)方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝_____；x＋x＝_____.
A
－
－2
6
范例2：已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为 ( )
A．b＝－1，c＝2　　B．b＝1，c＝－2　　
C．b＝1，c＝2　　D．b＝－1，c＝－2
D
仿例1：已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是 ( )
A．3或－1 B．3 C．1 D．－1或1
B
仿例2：已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值．
－2m＝n，
－2＋m＝－1，
m＝1，
n＝－2，
解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，
∴
解得即m，n的值分别是1，－2.
仿例3：已知关于x的方程x2＋x－m＝0的一个根为2，则有m＝____，另一个根是____.
－3
6
随堂练习
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1 +，x2 = 1 –，则 p = ，q = .
–2
–1
2. 方程 5x2 + kx – 6 = 0 有两个不相等的实数根，其中一个根是 2，则另一根是 ， k = .
–7
3. 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 2 = 0；（2）x2 + x = 5x + 6；
（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（1）x1 + x2 =－，x1x2= =2.
（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 4x – 6 = 0.
x1 + x2 =－ = 4，x1x2= =－6.
（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
（3）将方程化为一般形式，得 x2 – x – 1 = 0.
（4）将方程化为一般形式，得 2x2 – 4x + 1 = 0.
x1 + x2 =－ =1，x1x2= =.
x1 + x2 =－ = 2，x1x2= .
4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） + ；（2）x12 + x22.
解：因为 x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根.
所以 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
（2）x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 52 – 2×(– 7)
= 39
（1） + = = =
5. 若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
所以长方形的周长 C = 2(a + b) = 2(x1 + x2) = 6.
长方形的面积S=ab=x1x2 = .
x1 + x2 = 3，x1x2 = .
6.不解方程，试说明一元二次方程 3x2 – 5x = 7 必有实数根，并求出两根之和与两根之积.
解：将原方程化为一般形式，得
3x2 – 5x – 7 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
所以 Δ = (–5)2 – 4×3×(–7) = 109 > 0，
x1 + x2 =－ = ，x1x2 = =.
7. 已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2m – n = 0 的一个根为 2，且根的判别式为 0，求 m，n 的值.
解：根据题意，得
Δ = m2 – 4(2m – n) = m2 – (8m – 4n) = 0
且 4 + 2m + 2m – n = 4 + 4m – n = 0
即 4m – n = – 4
所以 m2 – (8m – 4n) = m2 – 4(4m – n) + 8m = 0
即 m2 + 8m + 16 = 0
解得 m1 = m2 = – 4
所以 n = 4m + 4 = – 12
所以 m 的值为 – 4，n 的值为 – 12.
8. 已知两数的和为 2，积为 – 2，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(2 – x).
根据题意，得 x(2 – x) = – 2
整理，得 x2 – 2x – 2 = 0.
解得 x1 =1+, x2=1– .
所以这两个数是x1 =1+, x2=1– .
课堂小结
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么 x1+ x2 ＝ x1x2 ＝
韦达定理
课堂作业
完成对应课时练习。

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