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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
17.5 一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程的应用（1）
导入新课
怎样解分式方程？怎样进行检验？
＋＋＝1.
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得
x－2＋4x－2(x＋2)＝x2－4，
x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
检验：把x＝2代入(x＋2)(x－2)，得(x＋2)(x－2)＝0，
∴x＝2不是原方程的解，原方程解为x＝1.
知识模块一　可化为一元二次方程的分式方程
探究新知
例 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
x
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
1200
1200
x
x + 2
等量关系：
原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元
解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是元.
根据题意，得 －=30
方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x – 80 = 0
解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8.
经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根，
答：原来这组学生是 8 人.
解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意.
但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8.
练一练：
某条高速铁路全长 720 千米，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快 60 千米，因此全程少用 2 小时，求高铁列车全程运行的平均速度．
解：设高铁列车全程运行的平均速度为 x 千米/小时，
根据题意，得 + 2 =
方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得x2 – 60x – 21600 = 0
方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得x2 – 60x – 21600 = 0
解方程，得 x1 = – 120，x2 = 180.
经检验，x1 = – 120，x2 = 180 都是原方程的根，
答：高铁列车全程运行的平均速度为 180 千米/小时.
但 x1 = – 120 不合题意，所以 x = 180.
归纳总结
解可化为一元二次方程的分式方程
分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程（整式方程），解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根．
典例精析
范例1：解方程： + = .
解：去分母得6x＋5(x＋1)＝(x＋4)(x－1)，
整理得x2－8x－9＝0，
所以x1＝－1，x2＝9.
经检验，x1＝－1是增根，x2＝9是原方程的根，
所以原方程的根是x＝9.
仿例：把分式方程－＝1去分母，并整理为一元二次方程的一般形式，得_______________.
x2－4x＋4＝0
知识模块二　可化为一元二次方程的分式方程应用题
范例2：甲、乙两地间铁路长2 400 km，经技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前增加20 km/h，列车从甲地到乙地行驶时间减少4 h．已知列车在现有条件下完全行驶的速度不超过140 km/h.请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次
提速？
解：设提速后列车速度为x km/h，则－＝4，
∴x1＝120，x2＝－100（舍去），
经检验，x＝120是原方程的根．
∵120＜140，∴仍可再提速．
仿例1：某市为处理污水，需铺设一条长为4 000 m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天
比原计划多铺设10 m，结果提前20天完成任务．设原计划
每天铺设管道x m，则可列方程_______________.
仿例2：杭州市到北京的铁路长1 487 km.火车的原平均速度为x km/h，提速后平均速度增加了70 km/h，由杭州到北京的行驶时间缩短了3 h，则可列方程为______________.
－＝3
－＝20
仿例3：某商店以2 400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中赢利350元，则每盒茶叶的进价为 ( )
A．40元　　B．50元　　C．60元　　D．70元
仿例4：甲、乙两班学生绿化校园，如果两班合作6天可以完成，如果单独工作，甲班比乙班少用5天，那么甲、乙两班单独工作分别需要　　天和　　天．
A
10
15
随堂练习
将分式方程2－＝化为整式方程是
（ ）
7x – 1 = 0
7x – 3 = 0
2x2 – 3x + 1 = 0
2x2 – 3x – 1 = 0
D
2. 端午节期间，某商家将每袋粽子降价 2 元销售. 元元发现，降价后用 240 元可以比降价前多购买 10 袋. 求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 x 元，下面所列方程正确的是（ ）
C
A．－＝10 B．－＝10
C．－＝10 D．－＝10
3. 2025 年 4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛. 这次机器人马拉松比赛里程约为 21 km，其中机器人甲每小时比机器人乙多跑 2 km，用时比机器人乙少h，求机器人甲、乙的平均速度分别是多少？
解：设机器人甲的平均速度为 x km/h，
根据题意，得－＝
则机器人乙的平均速度为 (x – 2) km/h.
方程两边同乘以 x(x – 2)，整理，得x2 – 2x – 48 = 0
解方程，得 x1 = – 6，x2 = 8.
经检验，x1 = – 6，x2 = 8 都是原方程的根，
答：机器人甲的平均速度为 8 km/h，机器人乙的平均速度为 6 km/h.
但 x1 = – 6 不合题意，所以 x = 8，所以 x – 2 = 6.
根据题意，得－＝
6. 一家水果店以每千克 24 元的价格购进某种水果若干，然后以每千克 28 元的价格出售，每天可售出 50 kg，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.2 元，每天可多售出 10 kg.
（1）若将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少千克？（用含 x 的代数式表示）
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 130 kg，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
解：（1）将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是
（2）根据题意，得 (50x + 50)(28 – x – 24) = 300
解方程，得 x1 = 1，x2 = 2.
x1 = 1 时，销量 50x1 + 50 = 100 (kg)，不合题意.
答：水果店需将每千克的售价降低 2 元.
x2 = 2 时，销量 50x2 + 50 = 150 (kg)，所以 x = 2.
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课堂小结
分式方程解题步骤：
（1）将分式方程通过去分母转化为整式方程求解；
（2）解分式方程一定要验根；
（3）要根据实际情况将不符合题意的解舍去.
课堂作业
完成对应课时练习。

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