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沪科版-数学-八年级下册
第18章 勾股定理及其逆定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
旧知回顾
1.分别以图中的直角三角形的三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？
解：S1＝32＝9，S2＝42＝16，
S3＝72－4××3×4＝25.
2.这三个面积之间是否存在什么未知关系？如果存在，那么它们的关系是什么？
解：S1＋S2＝S3，两直角边所在的正方形面积的和等于斜边所在正方形的面积．
知识模块一　勾股定理
探究新知
勾股定理的内容是什么？
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，上述定理称为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理．
从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
思考：
为了解决这个问题，我们今天要研究
直角三角形三边之间的数量关系.
在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.
事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.
思考 (1)在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入表中.看看三边长的平方之间有怎样的关系？
3 5
4
5
12
13
6
8
10
可以发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a b c a2，b2，c2之间关系
3 4 5 3 +4 =5
5 12 13 5 +12 =13
6 8 10 6 +8 =10
(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
观察图1,正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
割：分割为四个直角三角形和一个小正方形
补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
观察图1，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
18
该直角三角形三边长的平方分别是9,9,18，即9+9=18.
A
B
C
图2
如图2，正方形A，B，C的面积分别是4，4，8，所以该直角三角形三边长的平方分别是4，4，8，即4+4=8.
这两个直角三角形的三边长均满足上面所猜想的数量关系：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
9
16
25
9
1
10
上面所猜想的数量关系仍然成立.
(3)图中的直角三角形是否也具有这样的关系
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　
2.4
1.6
上面所猜想的数量关系仍然成立.
将该直角三角形放在方格中，一个方格的边长为0.2个单位长度，用同样的方法即可验证
通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
A
B
C
∟
a
b
c
较长的直角边
较短的直角边
斜边
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.
因此，人们把上面的结论称为勾股定理.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
几何语言：
如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
所以a2+b2=c2.
典例精析
仿例1：直角三角形的两直角边分别为5 cm，12 cm，其斜边上的高为 ( )
A．6 cm　　　　B．8 cm　　　　
C．cm　　　　D．cm
D
仿例2：如图，两个正方形的面积分别为22，29，那么字母A所代表的正方形的面积为　　.
7
变例：利用图①和图②两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理．这个定理称为　____________，该定理的数学表达式是　 　.
勾股定理
a2＋b2＝c2
知识模块二　利用勾股定理解决实际问题
范例2：一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 ( )
A．5　　　B．　　　C．　　　D．5或
D
仿例1：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝10，AC＝8，则点D到AB的距离是　　.
6
仿例2：已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8.则边BC的长为　 　.
仿例3：如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，且∠APB＝150°，则点P到点P′之间的
距离为　　，PC＝　　.
9或21
6
10
随堂练习
1．若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为________.
2．如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，BC⊥OC于点C，BC＝1，以O为圆心、OB长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________.
8
3.在中， .
(1)若，，则 ____；
(2)若，，则 ___；
(3)若 ，，则 _____.
17
4
2
4.如图，大正方形的面积是_________，另一种方法计算大
正方形的面积是_____________，两种结果相等，推得的
等式是_____________，
这个等式被称为__________.
勾股定理
C
A.28 B.56 C.84 D.
5.如图，①②③是三个正方形，②的面积为56，③的面积为28，则①的面积为( )
C
6.若直角三角形的两边长分别为和 ，则第三边长为( )
A. B.
C.或 D.或
7．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则边AB上的中线长为________.
归纳总结
直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理进行简单计算.
探索勾股定理
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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