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沪科版-数学-八年级下册
第18章 勾股定理及其逆定理
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
导入新课
1.什么是勾股定理？
答：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
2.如图，在学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们少走了多少路？
解：由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．∵3＋4－5＝2(m)，
∴他们少走了2 m路．
知识模块一　利用勾股定理解决实际问题
探究新知
范例1：一根旗杆从离地4.5 m的地方折断，旗杆顶部落在离旗杆底部6 m处，则旗杆折断前高为 ( )
A．10.5 m B．7.5 m C．12 m D．8 m
C
仿例1：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 ( )
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
B
仿例2：如图，一架梯子长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7 m．如果梯子的顶端下滑了4 m，则梯子的底端在水平方向移动了　　m.
8
范例2：如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，各边数据如图（单位：cm），那么A，B两点之间的距离为 ( )
A．8 cm B．8cm C．16 cm D．16cm
D
仿例1：将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm，6 cm，10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是　　cm.
5
仿例2：如图所示，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是 ( )
A．3 cm　　　　B．4 cm　　　　
C．5 cm　　　　D．6 cm
A
典例精析
1.如图，将长为的梯子 斜靠在墙上，使其顶端距离地面 ，则梯子底端距离墙底端的距离 为( )
A. B. C. D.
A
2．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　)
A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m
C
3. 如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
D
4. 如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是(　　)
A．5 m B．400 m
C．500 m D．300 m
C
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
跟踪训练
《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺.
由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC +BC =AB ，
即x +4 =(10-x) ，解得x=，
所以折断处离地面的高度为尺.
知识模块二　利用勾股定理解决展开图问题
范例3：如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始，经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路线长为　　cm.
13
仿例1：如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为　　m.（容器厚度忽略不计）
1.3
B
仿例2：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ( )
A．5　　　　B．25　　　　
C．10＋5　　　　D．35
5.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________.
典例精析
x2＋22＝(x+0.5)
6. 某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的距离是 .请问云梯够长吗？说明理由.
解：够长，理由如下：
， 云梯够长．
.
如答图，过点作于点,于点 ，
连接，则 ,
,, ，
，
7.《九章算术》中“折竹”问题(如图)：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．(1丈＝10尺)问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有(　　)
A．3尺 B．4尺
C．4.55尺 D．5尺
C
随堂练习
1.(数学文化淮南二模)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是
________m.
3.25
2. (真实情境)刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，一把长为15 cm的牙刷置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是________.
5≤h≤7
3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为，顶端距离地面 .
如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端
距离地面.则小巷的宽度为____ .
22
15 n mile
4．如图，甲、乙两船同时从 码头开出，45分钟后，甲船到达 码头，乙船到达 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时，乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向是北偏东 ，乙船航行的方向是南偏东 ，则甲、乙两船之间的距离 是________.
5. 在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地
面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，
C，D在同一平面内．(8分)
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
即风筝离地面的垂直高度CD为9. 5 m.
＝＝8(m)，
∴CD＝CE＋ED＝8＋1. 5＝9. 5(m)，
则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1. 5 m，
∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝
(2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由．
解：不能成功，理由如下：
假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，
∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)．
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝
＝＝25(m)，
∵AC＝17 m，余线仅剩7. 5 m，而17＋7. 5＝24. 5<25，
∴不能上升12 m，即不能成功．
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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