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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.1　多边形
旧知回顾
你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗？根据你的认识，它们各是几边形？
分别是五边形、六边形、八边形．
知识模块一　多边形的有关概念
探究新知
问题1 什么是多边形？什么是多边形的外角？
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角．
问题2 什么是凸多边形？什么是多边形的对角线？
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸边形．多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线．
比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称或者它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
思考：
内角：多边形相邻两边组成的角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？
∠A1
内角：
、∠A2
、∠A3 、
…、∠An–1
、∠An
∠1是其中一个外角
外角：
1
多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.简称多边形的角.
在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
A1
A2
A3
An–1
An
归纳总结
1.在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
2.多边形用图形名称或者它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
3.一个多边形，如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长线所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形.
3.一个多边形，如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长线所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形.
思考：
能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？
三角形
ABC
四边形ABCD
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
八边形ABCDEFGH
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
A
B
C
A
B
C
D
E
F
G
H
你能说出下面两个多边形的不同点吗？
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形.
凸多边形
不是凸多边形
B
A
C
D
B
A
C
D
思考：
能否将多边形分成我们熟悉的三角形？
A
B
C
D
E
对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
画出五边形的所有对角线，一共有几条？
5条对角线
典例精析
范例1：若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是　 　 .
仿例：若一个多边形有14条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．10 B．7 C．14 D．6
B
十三边形
知识模块二　多边形内角和定理
多边形内角和定理的内容是什么？如何证明？
n边形（n为不小于3的整数）的内角和等于(n－2)·180°.
证明如下：从n边形一个顶点出发可作(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和即(n－2)个三角形的内角总和，所以n边形的内角和为(n－2)·180°.
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A, ∠B, ∠C,∠D的度数之比为11:10:5:10.求它的四个内角的度数。
A
B
C
D
解：设∠B和∠D的度数为10x.则∠A=11x，
∠C=5x.
由题意，得11x+10x+5x+10x=360°.
解得x=10.
故∠A, ∠B, ∠C,∠D的度数分别110°,100°,50°,100°.
例2 求正六边形每个内角的度数。
解：正六边形的内角和为
你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？
（6－2）×180°=720°
所以每个内角的度数为
720°÷6 = 120°.
典例精析
范例2：若一个多边形的内角和等于1 080°，则这个多边形的边数是 ( )
A．9　　　B．8　　　C．7　　　D．6
仿例：将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．增加360°
B
C
知识模块三　多边形的外角和及正多边形
多边形外角和定理的内容是什么？如何证明？
n边形（n为不小于3的整数）的外角和等于360°.
证明方法如下：在n边形的每个顶点处取一个外角，与其相邻内角组成平角，则这些内外角的总和为180n，减去n边形的内角和(n－2)·180°，则多边形的外角和为180n－(n－2)·180°＝360°，即任意n边形的外角和总是360°.
范例3：一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的内角和为 ( )
A．360° B．1 440° C．1 080° D．720°
仿例：一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
变例：若一个正多边形的每个内角为156°，则这个正多边形的边数是( )
A．13 B．14 C．15 D．16
C
C
C
随堂练习
1.请在括号内写出下列多边形的全部对角线数量.
（ ） （ ） （ ）
2
5
9
2．下列图形中，凸多边形有________．(填序号)
①③
4
14
A
3.如图，从七边形的一个顶点出发，可以作___条对角线，七边形共有____条对角线.
4．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画2 026条对角线，则它的边数是(　　)
A．2 029 B．2 028
C．2 027 D．2 026
2 028
【变式题】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2 026个三角形，那么这个多边形的边数为________.
5.如图所示的是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成六边形.从六边形的一个顶点出发作对角线，可将六边形分成___个三角形，一个三角形的内角和为 ，故六边形的内角和为______.
4
6．如果一个多边形的内角和等于1 080°，那么该多边形的边数是________.
【变式题】若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________.
8
9
7.如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形ABCDE，其中∠B＝∠E＝102°，∠C＝∠D＝110°，则这个五边形的内角∠A的度数为______°.
116
8. 如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中(　　)
A．只有一个直角 B．只有一个锐角
C．有两个直角 D．有两个钝角
A
9.若一个多边形的对角线共有44条，则这个多边形的内角和为(　　)
A．1 260° B．1 440° C．1 620° D．1 800°
C
10．[广州期末]在学习多边形内角和的课上，老师让同学们计算一个多边形的内角和，小凯非常积极地举手回答说：“我计算出这个多边形的内角和为2 026°.”老师说：“你回答问题非常积极，值得大家好好学习，但你的计算不对呀，你可能少加了一个角！”请问小凯同学少加的这个角的度数是(　　)
A．24° B．44° C．134° D．144°
C
课堂小结
多边形及其相关概念：
在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
组成多边形的线段叫做多边形的边.
相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
相邻两边组成的角叫做多边形的内角(角).
在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形的分类：
按照边的条数分为：三角形、四边形、五边形、六边形……
n 边形对角线的条数：
课堂作业
完成对应课时练习。

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