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沪科版-数学-八年级下册
第18章 勾股定理及其逆定理
18.2 勾股定理的逆定理
情境引入
思考1 古埃及人曾用下面的方法得到直角：
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图．这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.你知道为什么吗
3段
4段
5段
因为，满足勾股定理，
所以猜想5段所对的角是直角.
用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C，它是90°吗
∠C=90°.
因为，满足勾股定理，
所以猜想AB所对的角是直角.
思考2 尺规作图
思考3 归纳总结
△ABC的三边长满足AC +BC =AB ，则∠C为多少度
根据前面思考1、2，猜想∠C=90°.
导入新课
1.用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第13个结与第1个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数，可以发现这个三角形是直角三角形．
为什么这样画出来的三角形是直角三角形呢？
你能写出勾股定理的逆命题吗？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
知识模块　勾股定理的逆定理
探究新知
什么是勾股定理的逆定理？如何证明？
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．证明如下：已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.
求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个直角三角形A′B′C′，
使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a.
由勾股定理，得A′B′2＝a2＋b2.
又∵a2＋b2＝c2，
∴A′B′2＝c2，A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，
BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C＝∠C′＝90°.∴△ABC是直角三角形．
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
接下来我们一起来证明这个定理.
问题4 据此能得到什么结论呢
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
已知：
求证：
C
B
A
A'
B'
C'
b
a
c
b
a
在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2.
△ABC是直角三角形.
证明：
作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
则有A'B'2 =a2+b2.
∵ a2+b2=c2，∴ A'B'2 =c2.
∵边长取正值，∴ A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
∵
∴ △ABC △A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°(全等三角形对应角相等），
∴ △ABC是直角三角形.
c
典例精析
例1　根据下列三角形的三边长a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a=7，b=8，c=11.
【分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．】
解 （1）∵72+242 =25 ，
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角．
（2）∵最大边是c=11，c =121， a2+b2 =72+82 =113，
∴△ABC不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，比如：3，4，5；5，12，13.
∴a2+b2 =c2.
∴a2+b2 ≠c2.
解 (1)∵152+82 =225+64=289=172 ，
（2）∵最大边是c=15，c =225，a2+b2 =132+142 =365，
∴△ABC不是直角三角形．
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角．
∴152+82 =172.
∴a2+b2 ≠c2.
(2) a=1 b=1 c= ____ _____ ;
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ ________ ;
(3) a:b: c=3:4:5 _____ _________ .
是
是
不是
∠A=90°
∠C=90°
试一试：
典例精析
例2　已知：在△ABC中，三边长分别为a=n -1,b=2n，c=n +1(n > 1). 求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a +b =(n -1) +(2n)
=n4-2n +1+4n
=n4+2n +1
=(n +1)
=2，
∴△ABC为直角三角形.
根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形.
例3　如图，营地A与哨所B相距10 km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗
解：由题意，得AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km，
勾股定理的逆定理在实际生活中的应用.
∵6 +8 =10 ，
∴AC +BC =AB .∴∠ACB =90°.
又∵AD // PO，∴∠ACP = ∠DAC =34°.
∴∠BCQ =180°- 90°- 34°= 56°.
答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处.
典例精析
范例1：下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( )
A．1，2，3 B．32，42，52
C．，， D．，，
C
仿例1：△ABC的三边长为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则 ( )
A．a边的对角是直角　　　　　　　　
B．b边的对角是直角
C．c边的对角是直角
D．△ABC是斜三角形
A
仿例2：若△ABC的三边长a，b，c满足|a＋b－50|＋＋(c－40)2＝0，则△ABC的形状为
　 　.
直角三角形
范例2：长度分别是9，12，15，36，39的五根木棒，从中任意选取3根，首尾相连，能构成直角三角形的选法有 ( )
A．1种　　　 B．2种　　　　C．3种　　　 D．4种
B
仿例：如图，有一块四边形菜地ABCD，∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，DA＝13 cm，求四边形ABCD的面积．
解：连接AC.
在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝42＋32＝25，∴AC＝5 cm.
在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠DCA＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×4×3＋×5×12＝36(cm2).
变例1：三角形的三边长分别是m＋1，m＋2，m＋3，则当m＝　　时，它是直角三角形．
变例2：已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＝4，ab＝1，c＝，则这个三角形是　 　三角形．
2
直角
归纳总结
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
随堂练习
A
1.如图，在中，是 上一点，已知，，，，则 的长为( )
A.14 B.13 C.12 D.9
2.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
①
(1)画出长为的线段 ；
解：如答图①，线段 即为所求.
②
(2)画出一个腰长为、面积为3的等腰三角形 .
如答图②， 即为所求(画图不唯一).
3.如图，在中， ，，是 内一点，且，，．把绕点逆时针旋转 得到 ，求 的度数．
解：如图，连结PD ，
易得∠CDP=45°，BD=AP=1,
∠APC=∠CDB.
在Rt△CDP中，PD=PC+CD=8.
∵PB=3=9,
BD+PD=1+8=9=P,
∴△PDB是直角三角形，∠BDP=90°.
∴∠APC=∠CDB=∠CDP+∠BDP=135°.
4. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4 m和1 m，又测得点A与点C间的距离为2.6 m，则小红家的木门__________(填“已变形”或“没有变形”).
没有变形
5．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．(12分)
(1)，， ；
解： ，不是直角三角形.
(2)，， .
，是直角三角形.
D
6. （2025·滁州期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　D　）
A. a＝1，b＝2，c＝2
B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝3，b＝4，c＝6
D. a＝1，b＝1，c＝
[变式] 如图，以△ABC的三边向外作正方形，
其面积依次为4，9，13，则△ABC的面积为
.
A
3　
7. 已知△ABC的三边长分别是5，12，13，则△ABC的面积为（　A　）
A. 30 B. 60 C. 78 D. 不能确定
8. 已知a， b， c是△ABC的三边长，它们满足 （a－5）2＋ ＋｜c－5 ｜＝0，则对该三角形的形状描述最确切的是（　D　）
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
D
8. 如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝2.4，BE＝1.8.
（1）试判断CE与AB是否垂直，并通过计算说明理由；
解：（1）CE⊥AB. 理由如下：
∵CE2＋BE2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，
∴CE2＋BE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴CE⊥AB.
8. （2025·安庆潜山期中）如图，在△ABC中，CB＝3，CE＝2.4，BE＝1.8.
（2）若△ABC的面积为3，求AC的长.
解：（2）∵S△ABC＝ AB·CE＝ AB·2.4＝3，
∴AB＝2.5，
∴AE＝AB－BE＝2.5－1.8＝0.7，
∴AC＝ ＝2.5.
C
9. （易错）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　C　）
A. b2－c2＝a2
B. a∶b∶c＝3∶4∶5
C. ∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
D. ∠C＝∠A－∠B
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
课堂作业
完成对应课时练习。

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