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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定
19.2.2 平行四边形的判定
导入新课
1.我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形对角线互相平分.
2.取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
是平行四边形．
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形. 第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
大家都困惑了……
情境导入
知识模块一　平行四边形判定定理1
探究新知
思考：将线段AB按如图中所给的方向和距离平移成线段A B ，连接AA ，BB .得到的四边形 ABB A ，它一定是平行四边形吗？为什么？
A
B
A'
B'
证明：连接 AC.
C
D
A
B
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且AB = DC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证一证
∵ AB∥CD，∴∠BAC =∠DCA.
在 △ABC和△CDA中，
∴ △ABC≌△CDA .
∴ ∠ACB = ∠CAD. ∴ AD∥BC.
因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
文字语言：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注：常用符号“ ”表示“平行且相等”，
读作“平行且等于”.
符号语言：
在四边形ABCD中，∵AB　CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
知识讲解
典例精析
范例1：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
又∠DAE＝∠BCF＝90°，AE＝CF，
∴△AED≌△CFB，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
仿例1：如图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中共有　　个平行四边形．
仿例2：如图，四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是　 　.
4
平行四边形
知识模块二　平行四边形判定定理2、判定定理3
思考：1.如图,过点A画两条线段AB,AD,以点B为圆心、AD长为半径画弧,再以点D为圆心、AB长为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等,它是平行四边形吗 为什么？
A
B
D
C
分析：
已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行，即可证明所画四边形为平行四边形.
证明：
连接AC.
∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA，
B
D
C
A
∴ △ABC ≌ △CDA，∠CAB=∠ACD .
∴ AB∥DC .
∵ AB=DC， AB∥DC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
平行四边形的判定定理2
文字语言：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
知识讲解
思考：如图， 作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.
这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？为什么？
分析：可证明一组对边平行且相等来说明所画四边形为平行四边形.
O
A
B
C
D
l2
l1
证明：∵ OA=OC，OB＝OD，
又 ∵∠AOD=∠COB，∴ △AOD ≌ △COB.
∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO .
∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB .
∵ AD∥CB ，且 AD=CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
O
A
B
C
D
l2
l1
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
平行四边形的判定定理3
文字语言：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
O
知识讲解
归纳总结
平行四边形的判定
名称 文字叙述 符号语言 图示
定义
定理1
定理2
定理3
D
A
B
C
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB∥CD，AB=CD，
(或AD∥BC，且AD=BC)，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD，且AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
典例精析
例5 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O.
D
A
B
C
O
E
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴OE=AO AE=CO CF=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
例6 已知：如图，直线l1，l2，l3互相平行，直线l4和l5分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l4
l5
l6
证明：过点B1作l6∥ l4，
分别交直线l1、l3于点E，F.
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1
都是平行四边形.
∴ AB=EB1，BC=B1F.
∵ AB=BC，
∴ EB1=B1F.
又∵ l1∥ l3.
∴ ∠A1EB1=∠C1FB1.
在△A1B1E和△C1B1中,∵
∴ △A1B1E≌△C1B1F.
∴ A1B1=B1C1.
由此得到，
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
作为上述定理的特例，有如下推论：
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
知识讲解
典例精析
范例2：不能判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A．两组对边分别平行　　　B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等
B
仿例1：如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是　 　，理由是__________
__________________________.
平行四边形
对角线互相
平分的四边形是平行四边形
仿例2：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.
证明：∵在 ABCD中，OA＝OC，又AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，
∴OF＝OE. 同理得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE.
仿例3：四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 ( )
A．3种　　B．4种　　C．5种　　D．6种
B
随堂练习
1. 在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足（　D　）
A. ∠A＋∠C＝180°
B. ∠B＋∠D＝180°
C. ∠A＋∠B＝180°
D. ∠A＋∠D＝180°
D
2. 下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是
（　D　）
A. AB∥CD，AD＝BC
B. ∠A＝∠B，AD＝BC
C. AB＝BC，AD＝BC
D. AB＝CD，AD＝BC
D
3. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是____________________________________.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形　
4. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，AB⊥BD，E是BD的中点，且BC∥AE，连接CE. 求证：AB＝CE.
证明：∵在四边形ABCD中，BC＝CD，E是BD的中点，
∴CE⊥BD，∴∠CEB＝90°.
∵AB⊥BD，∴∠ABE＝90°，
∴∠CEB＝∠ABE，∴AB∥CE.
∵BC∥AE，∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AB＝CE.
5. 根据下列各四边形中所标的数据，一定能判定其为平行四边形的是（　C　）
C
6. 如图，AD∥BC，AB＝BD，以点B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连接DE. 若∠BED＝50°，则∠DBC的度数为 .
50°　
8. （教材P87例5变式）如图，将 ABCD的对角线BD分别向两个方向延长至点E和点F，且BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF. 求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵BE＝DF，
∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AD＝4，OD＝OB＝3，AC＝10，∠ADB＝90°，则四边形ABCD为 四边形，其面积为 .
平行　
24　
8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是（　D　）
A. ∠ADE＝∠CBF
B. ∠ABE＝∠CDF
C. AE＝CF
D. DE＝BF
D
9. 已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形为 四边形.
平行　
课堂小结
从边考虑
两组对边分别平行(定义法)
两组对边分别相等(判定定理2)
一组对边平行且相等（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等（定义拓展）
对角线互相平分（判定定理3）
课堂作业
完成对应课时练习。

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