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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第2课时 平行线之间的距离
19.2.1　平行四边形的性质
旧知回顾
1.平行四边形的对边有什么性质？
2.点到直线的距离是如何定义的？
平行且相等
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度
情境引入
A
D
B
C
E
F
1.直线l1∥l2，AB，CD是夹在l1，l2间的平行线段，结合平行四边形的性质，AB和CD有什么关系？
2.若AE，CF是l1上点到l2的垂线段，AE和CF的长度相等吗？这一长度能代表两条直线之间的距离吗？
知识模块一　夹在两条平行线之间的平行线段相等
探究新知
范例1： 如图，直线l1∥l2， AB 和 CD 是夹在l1，l2之间的平行线段．若 AB＝7 cm，则CD的长度为　 　.
7 cm
仿例：已知直线a∥b，点M，N在直线a上，点P，Q在直线b上，MP∥NQ.若MP＝10，则NQ的长为　　.
10
知识模块二　平行线间的距离
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线段，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等.
猜想：平行线之间的距离处处相等.
1
如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D. 求证：AC = BD.
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
a
b
A
B
C
D
∴ ∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形.
∴ AC = BD.
2
理论证明
归纳总结
如果两条直线互相平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等 .
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线之间的距离处处相等）.
知识讲解
思考：两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
思考：若将夹在两平行线间的垂线段改为平行线段呢？它们是否相等呢？
由平行四边形的定义可知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形的对边相等的性质易知夹在两条平行线之间的平行线段相等.
A
D
B
C
E
F
例1 如图，在 ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
典例精析
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离.
∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4.
A
D
B
C
E
F
∴∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2.
∴BE=AE. ∴2AE2=16.
∴AE=2.
同理：AF=.
∴直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线DC之间的距离为.
A
D
B
C
E
F
归纳定义
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离
自主探究
范例2：如图，直线l1∥l2，点A在l1上，过点A作AE⊥l2于E.若AE＝4 cm，求l1与l2之间的距离．
解：根据平行线之间的距离定义，l1与l2之间的距离就是垂线段AE的长度，即4 cm.
仿例：如图，已知直线a∥b，点P是直线a上任意一点，PH⊥b于H，PH＝6，点Q也是直线a上一点，求点Q到直线b的距离．
解：因为两条平行线间的距离处处相等，
所以点Q到直线b的距离等于PH的长度，
即6.
知识模块三　平行四边形中对边间的距离
范例3：如图，在 ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，求直线AD与BC之间的距离．
A
B
C
D
解：过点A作AE⊥BC于点E，则AE为AD与BC之间的距离．
E
在Rt△ABE中，∠B＝30°，所以AE＝AB＝×6＝3.
仿例：如图，在 ABCD中，BC＝5，∠C＝45°，求直线AB与CD之间的距离．
A
B
C
D
G
解：过点B作BG⊥CD于点G，则
BG的长即为AB与CD之间的距离．
在Rt△BCG中，∠C＝45°，因此
∠CBG＝45°，
△BCG是等腰直角三角形，即BG＝CG.
由勾股定理，得BG2＋CG2＝BC2，代入BG＝CG，得
2BG2＝52，即BG2＝，∴BG＝.
随堂练习
1. 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是（　C　）
A. l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B. CE＝FG
C. 线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D. AB＝CD
C
2. 如图，两平行铁轨之间的枕木长度都相等，其中蕴含的数学道是_____________________________________.
夹在两条平行线之间的平行线段相等　
3. 在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为 .
　
4. 如图，点A在DE上，DE∥BC，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°.若BC＝2，则DE与BC之间的距离为 .
解：DE＝AC.
5. 如图，在 ABCD中，点E在BC的延长线上，且DE∥AC. 请写出DE与AC之间的数量关系，并证明你的结论.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥CE.
∵DE∥AC，∴DE＝AC.
B
3　
6. 【一题多问】如图，已知AD∥BC.
（1）若点A到BC的距离是2 cm，BC＝4 cm，则△BCD的面积为（　B　）
A. 8 cm2 B. 4 cm2
C. 2 cm2 D. 1 cm2
（2）若△ABC的面积为8，△BOC的面积为5，则△COD的面积为 .
6　
＝　
（3）若AD＝3，BC＝5，△BCD的面积为10，则△ABD的面积为 .
（4）点E在直线AD上，四边形BCED为平行四边形，则△ACE的面积 （填“＞”“＜”或“＝”）四边形ABCD的面积.
5 cm或3 cm　
7. （易错）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与 b之间的距离为4 cm，b与c之间的距离为1 cm，则a与c之间的距离为 .
8. （2025·黄山期中）如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝4 ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l2，l3之间的距离为2，求l1，l2之间的距离.
解：如图，过点A作AM⊥l3于点M，过点B作BN⊥l3于点N.
由题意知，AM＝2，AC2＋BC2＝42＋42＝32，
AB2＝（4 ）2＝32，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.
∵∠AMC＝∠BNC＝90°，
∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∠BCN＋∠CBN＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN.
∵AC＝CB，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CN＝AM＝2.
在Rt△NCB中，BN＝ ＝2 .
∵直线l1，l2，l3是三条互相平行的直线，
∴l1，l2之间的距离是2 －2.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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