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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第3课时 平行四边形对角线的性质
19.2.1　平行四边形的性质
旧知回顾
1.平行四边形性质1、性质2内容是什么？
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
2.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？
解：共有四对全等三角形：
△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，
△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA.
相等线段：AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD.
一、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
二、平行四边形的性质
边的性质：
平行四边形的对边平行
平行四边形的对角相等，
角的性质：
且相等.
邻角互补.
二、平行四边形的性质
知识模块　平行四边形的性质3
探究新知
我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
如图，在 ABCD 中，连接 AC，BD，设它们相交于点 O.
思考 你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？
猜想：OA = OC，OB = OD.
怎样证明这个猜想呢？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
量一量
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确．
这个方法准确吗？
已知，如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：OB＝OD，OA＝OC .
证一证
A
B
C
D
O
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
∴∠OAB＝∠OCD, ∠OBA＝∠ODC.
∴△OAB≌△OCD.
∴OB＝OD，OA＝OC.
知识讲解
平行四边形对角线互相平分.
性质3
几何语言
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了面积相等的4个三角形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
典例精析
例4 如图， 在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD=5，AO=AC，BD=2BO.
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
∴AC=.
∴AO=AC=2.
∴BO=.
∴BD=2BO=2.
范例1：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线的和是 ( )
A．18 B．28 C．36 D．46
C
仿例1：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是 ( )
A．8 B．9 C．10 D．11
C
仿例2：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝8，BD＝6，则边AB的取值范围是 ( )
A．1＜AB＜7　　　B．2＜AB＜14　　　
C．6＜AB＜8　　　D．3＜AB＜4
A
仿例3：已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如果△AOB的面积是3，那么 ABCD的面积是　　.
范例2：如图， ABCD的周长是18 cm，对角线AC，BD相交于点O.若△AOD与△AOB的周长差是5 cm，则边AB的长是　　cm.
12
2
10 cm
仿例1：如图，在周长为20 cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为
　 　.
仿例2：如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD，四边形EBFD都是平行四边形．
∴AO＝CO，EO＝FO.
∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF.
随堂练习
如图， ABCD的对角线相交于点O，且OA＋OB＝10，则AC与BD的和是（　C　）
A. 10 B. 16
C. 20 D. 22
[变式]在第1题中，若 ABCD的两条对角线的长之和为24，AD＝6，则△AOD的周长为 .
C
18　
B
2. 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O. 若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（　B　）
A. 10
B. 8
C. 7
D. 6
2 　
3. （教材P85例4变式）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，则BD的长为 .
4. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作一条直线，分别交AB，CD于点E，F. 求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF.
B
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　B　）
A. AC＝BD
B. OA＝OC
C. AC⊥BD
D. ∠ADC＝∠BCD
36　
6. 如图， ABCD的对角线相交于点O， 且AD≠CD， 过点O作OM⊥AC， 交AD于点M，连接CM. 如果△CDM的周长为18， 那么 ABCD的周长是 .
（9，4）　
7. （2024·合肥庐江期中）如图，在平行四边形ABCD中，顶点A，B，D在坐标轴上，AD＝5，AB＝9，点A的坐标为（－3，0），则点C的坐标为 .
8. 【一题多解】如图，在 ABCD中，连接AC，延长AC至点E，延长CA至点F，使AE＝CF，连接DF，BE. 求证：∠F＝∠E.
解：证明：证法1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAF＝∠BCE.
∵AE＝CF，∴AE－AC＝CF－AC，∴CE＝AF.
在△DAF和△BCE中，
∴△DAF≌△BCE（SAS），∴∠F＝∠E.
证法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠DCF＝∠BAE.
∵AE＝CF，∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴∠F＝∠E.
证法3：如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴AE－AC＝CF－AC，
∴CE＝AF，∴OC＋CE＝OA＋AF，即OE＝OF.
∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴∠F＝∠E.
C
9. 如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，边BC上的高为4，则图中阴影部分的面积为　（　C　）
A. 3
B. 6
C. 12
D. 24
9　
10. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为边BC上的一点，且CE＝2BE. 若四边形ABEO的面积为3，则 ABCD的面积为 .
22°　
11. （2025·黄山期末）如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝114°，则∠BAC的度数是 .
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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