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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第2课时 三角形的中位线
19.2.2 平行四边形的判定
旧知回顾
我们学过的平行四边形的判定方法有哪些？
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
我们之前学习过三角形的哪些特殊线段呢？
高线
A
B
C
中线
角平分线
思考：三角形还有没有其他的特殊线段呢？
复习导入
知识模块一　平行线等分线段定理及其推论
探究新知
例1 如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H为各边的中点，试判断四边形EFGH的形状有什么特征？证明你的结论，并与同伴交流.
解:四边形ABCD是平行四边形.
中点四边形
证明如下: 如图,连接AC.
在△DAC中，H，G分别是DA，DC的中点,
∴HG∥AC, HG=AC，
同理可证EF∥AC, EF= AC，
∴EF∥HG, EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形
称为中点四边形.
中点四边形
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终
是平行四边形．
拓展
平行线等分线段定理是什么？如何证明？
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．证明如下：
已知：l1∥l2∥l3，AB＝BC，求证：A1B1＝B1C1.
证明：过点B1作EF∥AC，分别交l1，l3于点E，F，
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形．
∴EB1＝AB，B1F＝BC.
∵AB＝BC，∴EB1＝B1F.
又∵∠A1EB1＝∠B1FC1，∠A1B1E＝∠C1B1F，
∴△A1B1E≌△C1B1F. ∴A1B1＝B1C1.
范例1：在△ABC中，DE∥BC，AD＝DB，则AE　　EC.
典例精析
＝
仿例：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝BC.
A
D
E
B
C
A
D
E
B
C
(E’)
F
证明：过点D作DE′∥BC，DE′交AC于点E′.
由推论可知：点E′应与点E重合，
∴DE∥BC.
同理，过点D作DF∥AC，
DF交BC于点F，则点F为BC的中点．
∴四边形DFCE为平行四边形，
∴DE＝FC＝BC.
知识模块二　三角形的中位线定理
什么是三角形的中位线？
三角形的中位线定理的内容是什么？
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
三角形的中位线定义：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
例如：△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE，DE就是△ABC的中位线.
D
E
思考 1.三角形有几条中位线？
三条
A
B
C
D
E
F
2.三角形的中位线与中线有什么区别？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
联系：
都是线段，都是与边的中点有关.
区别：
中位线是两条边中点的连线，而中线 是一个顶点和对边中点的连线.
3. 三角形的中位线与第三边之间有怎样的关系呢？通过观察和测量，猜想DE和BC的位置关系和数量关系.
A
B
C
D
E
猜想：位置关系：DE∥BC
数量关系：DE= BC
A
B
C
D
E
4.如何证明这个猜想的命题呢？
已知：如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证:DE∥BC, DE= BC.
分析：要证明线段的“倍分”关系，
我们一般用截长补短法.
A
B
C
D
E
F
证明: 如图,延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE,∠AED=∠CEF, DE=FE，
∴△AED≌△CEF，
∴∠A=∠ECF, AD=CF，∴CF∥AB，
∵BD=AD，∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC,DF=BC，
又∵ DE= DF , ∴DE∥BC，DE= BC.
归纳总结
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用数学语言表示
∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC， DE=BC.
A
B
C
D
E
典例精析
例2 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=3，点D，E分别是BC，AC边上的中点，求线段DE的长.
A
B
C
D
E
解：在Rt△ABC中，有勾股定理，
A
B
C
D
E
得AB2+AC2=BC2．
∵AB=AC,BC=3，
∴2AB2=18.∴AB=3.
∵点D，E分别是BC，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE=AB=.
范例2：如图，在 ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝　　.
仿例1：如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝　　.
4
2
仿例2：如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝22，则DM的长为 ( )
A．3　　　B．4　　　
C．5　　　D．6
仿例3：直角三角形的两条直角边长分别为6 cm，8 cm，则连接这两边中点的线段长为　 　.
5 cm
C
随堂练习
1. （2025·芜湖期末）如图，D，E分别是AC，BC的中点，测得DE＝15 m，则池塘两端A，B的距离为（　B　）
A. 45 m
B. 30 m
C. 22.5 m
D. 7.5 m
B
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　）
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
D
70°　
18　
[变式] 如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点.
（1）若∠A＝70°，则∠EDF的度数为 ；
（2）若AB＝8，AC＝10，则四边形AEDF的周长为 .
3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在格点上，D，E分别是线段AC，BC的中点，则线段DE的长为 .
　
4. 在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 .
9　
5. 如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且CD＝2AD，连接BD，E，F分别为BC，BD的中点，连接AF，EF，DE. 求证：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵E，F分别为BC，BD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥CD，EF＝ CD.
∵CD＝2AD，∴AD＝EF.
又∵AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形.
6. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，F，G，E分别是DC，AC，AB的中点，连接GE，GF. 求证：∠GFE＝∠GEF.
证明：∵F，G分别是CD，AC的中点，
∴GF是△ADC的中位线，
∴GF＝ AD.
∵G，E分别是AC，AB的中点，
∴GE是△ABC的中位线，∴GE＝ BC.
∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF.
7. 如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上，且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（　B　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
[变式] 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，连接EO. 若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　A　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A
8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD＝6，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为
（　B　）
A. 24
B. 12
C. 6
D. 无法确定
B
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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