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沪科版-数学-八年级下册
第16章　二次根式
16.1　二次根式及其性质
复习导入
用带有根号的式子填空，观察写出的结果有什么特点？
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为_______m.
(1)面积为3的正方形边长为　　，面积为S的正方形边长为　　．
S = 长×宽
130 = 2a×a
a =
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
上面的问题结果分别是： ， ，．
①根指数都为 2；
②被开方数为非负数.
分别表示 3，S，65的算术平方根．
知识模块一　二次根式的定义
探究新知
我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，
符号“”叫作二次根号.
注意：a 可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：
二次根式的被开方数或式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
当 a≥0 时, ≥0.
典例精析
范例1：下列式子中，是二次根式的是 ( )
A．－ B．
C． D．a
A
分析：
是否含二次根号
是
被开方数是否为非负数
是
是二次根式
否
不是二次根式
否
当a＞0 时，表示 a 的算术平方根，因此＞0；
这就是说，(a≥0)是一个非负数，具有双重非负性.
当a = 0 时，表示 0 的算术平方根，因此 = 0；
仿例1：若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
仿例2：使式子无意义，则x的取值范围是_______．
仿例3：若式子有意义，则实数x的取值范围为__________．
x≤
x＞4
x≤2且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0.
范例2：若y＝＋2，求(x＋y)y的值．
解：依题意，得
仿例：已知y＝＋＋1，则yx＝　　．
∴x＝4，∴y＝2，
故(x＋y)y＝(4＋2)2＝36.
1
知识模块二　二次根式的性质1、2
问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
又∵面积为 a.
正方形的边长为.
用边长表示正方形的面积为()2.
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
a > 0
()2＝a
问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
1
2
4
…
…
()2
…
算术
平方根
平方运算
1
1
2
4
()2=______
()2=______
计算：
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
5
0
性质1 ()2＝a (a≥0).
(=______
观察
典例精析
范例3：计算：(1)（）2；(2)－（）2；(3)（－3）2；(4)（）2.
解：(1)原式＝1.4；
(2)原式＝－；
(3)原式＝18；
(4)原式＝5x2＋1.
仿例：下列计算正确的是 ( )
A．（）2＝25　　　　　　B．（－）2＝－3
C．（）2＝0 D．（5）2＝10
C
类似地，计算：
又如，再计算：
=
观察
=______
=______
=______
0
0.5
=______
=_______
– (–0.5)
性质2
一般地，有
根据上式你能确定 的化简结果吗？
a，(a≥0)，
-a，(a＜0).
0，(a＝0)，
＝=
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
范例4：化简：(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式＝＝3；
(2)原式＝＝4；
(3)原式＝ ＝5；
(4)原式＝＝3.
典例精析
仿例1：下列各式中，正确的是( )
A．＝－3 B．－＝－3
C．＝±3 D．＝±3
仿例2：＝1－2a，则_______．
B
a≤
()2与的区别有哪些？
()2
运算顺序
取值范围
运算结果
表示意义
思考
先开方，后平方
先平方，后开方
a 0
任何实数
a
|a|
表示非负数 a 的算术平方根的平方
实数 a 的平方的算术平方根
归纳总结
二次根式
性质
定义
带有二次根号
被开方数为非负数
()2＝a (a≥0).
性质1
a，(a≥0)，
-a，(a＜0).
0，(a＝0)，
性质2
＝=
随堂练习
1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）.
A. B.
C. D.
B
2. 二次根式 中，x 的取值范围是（ ）.
x＜2 B. x≤2
C. x≥2 D. x＞2
D
3. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：根据题意可得 –x2 + 2x – 1 ≥ 0.
∴ – (x2 – 2x + 1) ≥ 0.
∴ x2 – 2x + 1 ≤ 0.
∴ (x – 1)2 ≤ 0.
∵ (x – 1)2 ≥ 0，
（1）；
∴当 x = 1 时，在实数范围内有意义.
解：根据题意可得
–x2 – 2x – 3≥ 0，
∴ – (x2 + 2x + 3) ≥ 0.
∴ x2 + 2x + 3 ≤ 0.
∴ (x + 1)2 + 2 ≤ 0.
∵ (x + 1)2 ≥ 0，∴ (x + 1)2 + 2 ＞ 0.
（2） .
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
∴无论 x 为何实数，在实数范围内都有意义.
提示：多个非负数的和为 0，可得每个非负数均为 0. 我们学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意可知 a + 3 = 0，b – 2 = 0，c – 1 = 0，
4. 若+(c-1)2=0，求 2a – b + 3c 的值.
解得 a = –3，b = 2，c = 1.
所以 2a – b + 3c = (–3)×2 – 2 + 3×1 = –5.
5.已知 a 为实数，求 的值.
解：由题意可知，要使式子有意义，则 – a2 ≥ 0.
又∵a2 ≥ 0，∴ a2 = 0，∴ a = 0.
= 2 – 3 + 0
= –1.
∴=
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课堂小结
完成本课时相关练习。
作业布置

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