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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形的性质
19.3.1 矩形
导入新课
1.平行四边形有哪些性质？
平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
2.如图，如何推动一个平行四边形木框，使它成为一个矩
形？想一想，在推动过程中，原平行四边形的对边、对角、对角线有何变化？
使其一角为直角；对边仍平行且相等；对角相等变为四角相等；对角线由不相等变为相等．
新课导入
问题1 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
问题2 你还能举出一些生活中的例子吗？
知识模块一　矩形的定义和性质
探究新知
观察下图，把平行四边形的一个内角变为90°，这时的
平行四边形是什么图形？
∟
思考：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
归纳：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
1.矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
思考：
矩形具有一般平行四边形的所有性质.
2.矩形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴
矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.
3.你认为矩形还具有哪些特殊的性质 与同伴交流.
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等，等等.
证明：由定义知矩形必有一个角是直角，不妨设∠A = 90°.
A
D
B
C
下面给出“矩形的四个角都是直角”的证明.
已知：如图，矩形ABCD.
求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠A+∠D=180°，∠D+∠C=180°，∠C+∠B=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠C=∠D =90°.
因此，矩形ABCD的四个角都是直角.
证明：在矩形ABCD中，
A
B
C
D
下面给出“矩形的对角线相等”的证明.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形.
求证： AC = BD.
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS)
∴AC = BD，
因此，矩形的对角线相等.
归纳总结
性质1 矩形的四个角都是直角.
性质2 矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
故∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
典例精析
范例1：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
仿例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BO＝2.5，则矩形ABCD的周长是( )
A．14 B．11 C．10 D．8
A
A
仿例2：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有
( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
D
仿例3：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF等于 ( )
A．　　B．　　C．　　D．
B
仿例4：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BO＝CO.
又∵∠BEO＝∠CFO＝90°，∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF.
∴BE＝CF.
知识模块二　直角三角形斜边上中线的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
C
D
E
A
B
解：∵四边形ABCD是矩形，
C
D
E
A
B
∴AC = BD(矩形的对角线相等)，
∵BE= DE=BD，AE=CE=AC (矩形对角线相互平分)，
∴BE=AC.
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
∵ 在Rt△ABC中，点O是斜边AC的中点
几何语言描述：
∴ OB = AC
(或 OB=OA=OC，或 AC=2OB)
归纳总结
典例精析
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，∠AOB=120°，AD=4，求矩形ABCD对角线的长.
D
A
B
C
O
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，OA=AC ，OB = BD，∠DAB=90°.
∴OA = OB. ∵∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA==30°.
D
A
B
C
O
在Rt△ABD中，∠OBA=30°，AD=4 cm，
∴AC=BD = 2AD = 2 ×4 = 8.
∴矩形ABCD对角线的长为8 cm.
直角三角形斜边上的中线有何性质？如何证明？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
证明如下：对于任一个直角△ABC（其中∠ABC＝90°），构造一个长为AB，宽为BC的矩形ABCD，设矩形的对角线AC，BD交于点O，则AO＝OC＝BO＝OD＝AC＝BD.
即斜边上中线BO等于斜边AC的一半．
范例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，点D为AB的中点，则CD＝_____cm.
仿例：如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为_____.
5
20
随堂练习
1. 如图，一个矩形纸片被剪去一部分后，得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是（　C　）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
C
2. 两个矩形的位置如图所示.若∠1＝120°，则∠2＝
（ ）
A. 30°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
C
12　
8　
3. 若矩形的对角线长为5 cm，一条边长为3 cm，则此矩形的面积为 cm2.
4. 如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，BC＝EC，∠ABE＝15°.如果AB＝4 cm，那么BC＝ cm.
5. 如图，已知四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF. 求证：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE.
6. 如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，则BD的长为（C　）
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 5 cm
C
B
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 若AE是OB的垂直平分线，且AB＝3，则BC的长为
（　B　）
A. 3
B. 3
C. 6
D. 3
[变式] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠CDE＝20°，则∠BOC的度数是 .
140°　
8. 巢湖是我国五大淡水湖之一，宛如一面宝镜镶嵌在江淮大地上，有“八百里湖天”之称.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若AB的长为80 km，则M，C两点间的距离为（　B　）
A. 20 km B. 40 km
C. 80 km D. 160 km
B
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
课堂作业
完成对应课时练习。

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