资源简介

(共37张PPT)
沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第2课时 矩形的判定
19.3.1 矩形
导入新课
1.什么是矩形？
答：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
2.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较．
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等 四个角都相等
对角线 对角线互相平分 对角线相等且互相平分
知识模块一　矩形的判定定理1
探究新知
思考 工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
矩形的判定定理1是什么？如何推导？
答：定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．证明如下：
已知：在 ABCD中，AC＝BD.
求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
又∵DC＝CD，AC＝BD，∴△ADC≌△BCD.
∴∠ADC＝∠BCD.
又∵∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°. ∴ ABCD是矩形．
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
已知：如图，在 ABCD中， AC = DB.
求证： ABCD 是矩形.
D
A
B
C
证一证：
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD ∥ BC，
在△ADC和△BCD中，∵
∴△ADC≌△BCD.∴∠ADC =∠BCD.
又∵ ∠ADC +∠BCD = 180°，
∴∠ADC =∠BCD= 90°.
∴ ABCD是矩形（矩形的定义）.
D
A
B
C
归纳总结
矩形的判定定理1：
几何语言描述：
A
D
C
B
对角线相等的平行四边形是矩形.
在 ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ ABCD 是矩形.
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例精析
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
A
B
C
E
D
F
1
2
证明：∵ AE // BC，
∴ ∠1 = ∠2.
在 △ADE 和 △CDF 中，
∵ ∴ △ADE ≌ △CDF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∴EF = AB.
又∵ AC = AB，∴ EF = AC.
所以四边形 AECF 是矩形.
范例1：如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是 ( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
典例精析
D
仿例1：如图，M是 ABCD的边AD上的中点，且MB＝MC.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：在 ABCD中，AB＝CD.
∵M是AD的中点，∴AM＝DM.
又∵MB＝MC，∴△ABM≌△DCM.
∴∠A＝∠D. 又∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠A＝90°. ∴四边形ABCD是矩形．
仿例2：如图，E为 ABCD外一点，且AE⊥EC，BE⊥ED.求证： ABCD是矩形．
证明：连接AC，BD交于点O，连接EO.
E
A
B
C
D
O
∵AE⊥EC，BE⊥ED，
∴∠AEC＝∠BED＝90°.
∵ ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴在Rt△AEC和Rt△BED中，OE＝AC，OE＝BD.
∴AC＝BD. ∴ ABCD是矩形.
知识模块二　矩形的判定定理2
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，这个性质的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
典例精析
D
A
B
C
例3 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B = ∠C = 90°，
D
A
B
C
∴ ∠B + ∠C = 180°，∠A +∠B = 180°.
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵∠A= 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
矩形的判定定理2：
几何语言描述：
A
B
C
D
归纳总结
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
典例精析
范例2：如图，直线EF∥MN，PQ分别交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 ( )
A．正方形　　　B．平行四边形
C．矩形 D．不能确定
C
仿例：如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°.
∴∠AFB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°.
∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
随堂练习
C
如图，要使 ABCD成为矩形，需要添加的条件是（C）
A. ∠A＋∠B＝180°
B. ∠C＋∠B＝180°
C. ∠A＝∠B
D. ∠B＝∠D
10　
2. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6.当BD＝ 时，四边形ABCD为矩形.
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（ASA），∴DA＝CB.
∵∠A＝∠B＝90°，∴DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
D
4. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2.若要使 ABCD为矩形，则BD的长应该为（　D　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
[变式] 在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是不是矩形.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的为（　C　）
A. OA＝OB
B. AC＝BD
C. OA＝OC
D. OA＝OD
C
5. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF. 求证：四边形AECF是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC.
∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E. 求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，
∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN＝ ∠CAM.
∵∠CAM＝∠B＋∠ACB，∴∠CAN＝∠ACB，
∴AN∥CB，∴∠DAN＋∠ADC＝180°，
∴∠DAN＝∠ADC＝90°.
∵CE⊥AN，∴∠AEC＝∠DAN＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
C
7. 在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　C　）
A. AD＝BC且AC＝BD
B. AD＝BC且∠A＝∠B
C. AB＝CD且∠A＝∠C
D. AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2
AC⊥BD（答案不唯一）　
8. 如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，四边形ABCD添加一个条件后，可使四边形EFGH成为矩形，则这个条件为 .
矩形　
9. 【一题多问】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点B出发，沿BC向点C运动（点P不与点B，C重合），过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF.
（1）四边形AEPF的形状为 .
　
（2）下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是____（填序号）.
①先变长后变短； ②先变短后变长；
③一直变短； ④始终保持不变.
（3）若AB＝3，AC＝4，则EF的最小值是____ .
②
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂作业
完成对应课时练习。

展开更多......

收起↑