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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 菱形的性质
19.3.2 菱形
旧知回顾
1.什么叫作平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
答：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一角为直角的平行四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
2.怎样改变木框构造，使其成为菱形？
答：使平行四边形邻边相等可成为菱形．
导入新课
下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
知识模块一　菱形的定义与性质1
探究新知
想一想：
由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。
平行四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
菱形具有一般平行四边形的所有性质.
平行四边形不一定是菱形.
归纳
什么是菱形？菱形性质定理1的内容是什么？
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
做一做：
通过上面的折纸活动，我们可以发现：
（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴.
（2）菱形四条边都相等.
（3）菱形的对角线互相垂直.
归纳总结
归纳
性质1 菱形的四条边相等.
性质2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
证明菱形的性质：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD.
A
B
C
D
O
知识讲解
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
A
B
C
D
O
∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴ AB = BC = CD =AD.
（2）AC⊥BD.
证明：（2）∵AB=AD，
A
B
C
D
O
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
典例精析
范例1：如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为 ( )
A．1 B． C．2 D．2
C
仿例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH＝___.
仿例2：边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
3.5
C
知识模块二　菱形的性质2
菱形的性质定理2内容是什么？如何证明？
答：性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
证明：如图，连接菱形的两条对角线AC和BD，设它们相交于点O.
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AC⊥BD且AC平分∠BAD.
（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）.
同理，BD分别平分∠ABC，∠ADC.
由性质2可知，菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴．
归纳总结
典例精析
范例2：菱形的一边与两条对角线所成的角的度数的比为1∶2，则菱形中较大的内角是 ( )
A．150°　　　　　B．120°　　　　　C．110°　　　　　D．100°
仿例1：如果菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，那么该菱形的另一条对角线的长是( )
A．3 cm B．4 cm C． cm D．2cm
B
D
C
仿例2：如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ( )
A．4 B． C． D．5
仿例3：如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M，N分别是BC，CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是　　.
5
随堂练习
B
1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　B　）
A. 对角线相等
B. 四边相等
C. 对边平行
D. 是轴对称图形
2. （2025·淮南期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点.若EF＝2，则菱形ABCD的周长为
（　C　）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 20
C
3. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标为 .
（8，4）
4. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEB＝∠AFD. 求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF.
C
5. 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD. 若∠1＝20°，则∠2的度数为（　C　）
A. 20°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
6. （2025·安庆期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，且AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　C　）
A. 3
B. 2.4
C. 2.5
D.
C
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，AE∥BD.
（1）若AC＝8，BD＝4，求菱形ABCD的周长；
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝4，
OD＝ BD＝2，AD＝DC＝CB＝BA，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∴菱形ABCD的周长为AD＋DC＋CB＋BA
＝2 ×4＝8 .
7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，AE∥BD.
（2）求证：四边形ODEA为矩形.
解：（2）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ODEA是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，∴四边形ODEA为矩形.
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1. 周长 = 边长的四倍
2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
课堂作业
完成对应课时练习。

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