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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第2课时 菱形的判定
19.3.2 菱形
旧知回顾
1.什么是菱形？菱形的性质有哪些？
答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
菱形性质1：菱形的四条边相等．
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2.根据定义，如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？
答：再有一组邻边相等．
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
且 AB = AD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
知识模块一　菱形的定义和判定定理1
探究新知
菱形的判定定理1的内容是什么？
答：定理1：四边相等的四边形是菱形．
小刚：分别以 A，C 为圆心，以大于AC 的长为半径画弧，两条弧分别相交于点 B，
D，依次连接 A，B，C，D 四点.
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
证一证：
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
归纳总结
四边相等的四边形是菱形.
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理1
四边形 ABCD
A
B
C
D
典例精析
2
例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
2
A
C
B
E
D
F
1
∴△ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，
A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形．
证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
归纳 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴ AC＝==10(cm).
∴ AC＝DF＝AD＝CF.
∴ 四边形 ACFD 是菱形．
典例精析
范例1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 ( )
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．都有可能
仿例1：下列图形中，不一定为菱形的是( )
A．两条对角线互相垂直平分的四边形
B．四条边都相等的四边形
C．有一条对角线平分一个内角的四边形
D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图案
C
C
仿例2：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　 　.
AC＝BD
仿例3：如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
解：(1)四边形OCED是菱形．
理由：∵DE∥AC，CE∥BD.
∴四边形OCED是平行四边形．
在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
(2)连接OE.
由菱形OCED，得CD⊥OE，
∴OE∥BC.
又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形．
∴OE＝BC＝8.
∴S四边形OCED＝OE·CD＝×8×6＝24.
知识模块二　菱形的判定定理2
菱形的判定定理2的内容是什么？如何证明？
答：定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
证明：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO.
又∵DB⊥AC，∴∠AOD＝∠COD.
又∵OD＝OD，∴△AOD≌△COD.
∴DA＝DC. ∴四边形ABCD是菱形．
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
知识讲解
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形.
证一证：
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例3 如图，在□ABCD中， 对角线 AC，BD相交于点 O，AC = 8，BD= 6，AB = 5，求AD的长.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=5，
∴△AOB 是直角三角形，即OA⊥OB.
典例精析
OA=AC=4，OB=BD=3.
∴AB2=OA2+OB2.
∴□ABCD是菱形. ∴AD=AB=5.
典例精析
范例2：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，
CF，则四边形AECF是 ( )
A．梯形　　　　　B．矩形　　　　　
C．菱形　　　　　D．正方形
C
仿例：如图， ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于点
E，交BC于点F，交AC于点O.求证：四边形AECF为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠ACB.
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.
∴△AOE≌△COF. ∴OE＝OF.
∴四边形AECF为平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形．
随堂练习
1. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是
（　C　）
C
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的周长为 .
20　
3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，过点C作
CE⊥AB，交AB的延长线于点E，作CF⊥AD，交AD的延长线于点F. 若CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠CEB＝∠CFD＝90°.
在△CBE和△CDF中，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形.
A
4. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交∠A的两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB. 若∠A＝40°，则∠MBN＝（　A　）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 140°
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且BE＝BF，连接CE，CF. 求证：四边形BECF是菱形.
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，BF＝CF.
∵BE＝BF，∴BE＝CE＝BF＝CF，
∴四边形BECF是菱形.
D
6. 如图，添加下列条件中的一个，能使平行四边形ABCD是菱形的为（　D　）
①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD.
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
7. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O. 添加一个条件：_____________________，使四边形ABCD成为菱形.（写出一个即可）
AD∥BC（答案不唯一）　
8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA.
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AOE≌△COF，∴EO＝FO，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形.
9. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，下列选项能够判定四边形EGFH是菱形的是（　A　）
A. AB＝CD
B. AB∥CD
C. AC＝BD
D. AD＝BC
A
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂作业
完成对应课时练习。

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