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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
19.3.3 正方形
情境导入
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
正方形是我们所熟悉的图形，如魔方的一个面.
知识模块一　正方形的定义及性质
探究新知
1.正方形的定义是什么？正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系是怎样的？
答：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形．关系如图：
2.正方形的性质有哪些？
答：正方形具有矩形、菱形的所有性质．
性质1：正方形的四条边相等，四个角都是直角．
性质2：正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.
思考：什么样的四边形是正方形？
知识讲解
正方形的定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是特殊的菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ；
对称轴： .
轴对称图形
4 条
A
B
C
D
归纳总结
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
正方形是特殊的矩形，又是特殊的平行四边形，更是特殊的平行四边形. 因此正方形具有这些图形的所有性质.
知识讲解
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，
途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
例 如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
典例精析
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA. ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝ 90°.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D.
∴Rt△AA′D′ ≌Rt△BB′A′ .
∴ D′A＝A′B，∠1＝∠3.
同理：A′B′ ＝ B′C′，B′C′＝ C′D′，C′D′＝ D′A′，
∴A′B′ ＝ B′C′＝ C′D′＝ D′A′，
∴四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°，
∴∠2＋∠3＝ 90°，
∴∠D′A′B′＝ 90°.
所以四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
+
先判定菱形
矩形条件(二选一)
一个直角/
对角线相等
归纳总结
正方形
+
先判定矩形
菱形条件(二选一)
一组邻边相等/
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
典例精析
范例1：正方形具备而矩形不具备的性质是 ( )
A．两组对边分别相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
仿例1：正方形的一条对角线为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
D
A
仿例2：如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为 ( )
A．45° B．55°
C．60° D．75°
C
知识模块二　正方形的判定方法
正方形的判定方法有哪些？
答：根据正方形的定义，我们可得到以下判定正方形的方法：
(1)有一个内角是直角的菱形是正方形；
(2)邻边相等的矩形是正方形；
(3)对角线相等的菱形是正方形；
(4)对角线相互垂直的矩形是正方形．
典例精析
范例2：对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是 ( )
A．矩形　　　　B．菱形　　　　
C．正方形　　　　D．不能确定
C
仿例：如图，已知 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即DB⊥AC.
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.
∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°.
∵∠AED＝2∠EAD. ∴∠EAD＝15°.
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
随堂练行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是
（　B　）
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线互相垂直
2. 一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是（　A）
A. 2 cm2 B. 4 cm2
C. 6 cm2 D. 8 cm2
3. 如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠BEC的度数为（　A　）
A. 150° B. 175°
C. 120° D. 135°
A
A
4. （2025·淮南期末）如图，在正方形ABCD中，P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M，N. 若BD＝10，则PM＋PN＝ .
5　
5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且DE＝AF，BE与CF交于点G.
（1）求证：△BCE≌△CDF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，∠BCE＝∠CDF＝90°.
∵AF＝DE，∴DF＝CE.
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS）.
5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且DE＝AF，BE与CF交于点G.
（2）若BC＝4，DE＝1，求CF的长.
解：（2）∵CD＝BC＝4，DE＝1，
∴CE＝CD－DE＝3.
在Rt△BCE中，由勾股定理，
得BE＝ ＝ ＝5.
由（1），知△BCE≌△CDF，∴CF＝BE＝5.
D
6. 下列条件不能判定一个平行四边形是正方形的是
（　D　）
A. 对角线相等且互相垂直
B. 一组邻边相等且有一个角是直角
C. 对角线相等且一组邻边相等
D. 对角线互相平分且有一个角是直角
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，能判定菱形ABCD是正方形的是（　C）
A. AB＝AC
B. OA＝OC
C. BC⊥CD
D. AC⊥BD
C
8. （教材P106练习T1变式）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则下列几组条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（　C　）
①AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD；
②AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB⊥BC；
③四边形ABCD是矩形，并且BC⊥CD；
④四边形ABCD是菱形，并且AC＝BD.
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
C
课堂小结
1. 四个角都是直角
2. 四条边相等
3. 对角线相等、互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角
且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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