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沪科版-数学-八年级下册
第20章 数据的初步分析
20.3　数据的离散程度
20.3.2　用样本方差估计总体方差
导入新课
设一组数据是x1，x2，…，xn，它们的平均数是， 将s2＝［（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2］称为这组数据的方差．方差越大，数据的离散程度越大．
知识模块　用样本方差估计总体方差
探究新知
例1：为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(1)哪个品种平均每公顷的产量较高？
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
(2)哪个品种的产量较稳定？
1 2 3 4 5
甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9
乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2
S = = 0.18.
2
甲
S = = 0.324.
2
乙
∵S ＜S ,∴甲品种的产量更稳定
2
甲
2
乙
反映数据的波动大小．
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
想一想
归纳总结
用样本估计总体是统计的基本思想，类似于用样本的平均数估计总体的平均数，考察总体方差的时候，如果考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常会用样本的方差来估计总体的方差.
典例精析
范例1：水稻种植是嘉兴的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
∵s ＝2.16，s ＝0.56，
解：由图象可知：
种植编号 1 2 3 4 5
甲种苗高 7 5 4 5 8
乙种苗高 6 4 5 6 5
∵甲＝5.8， 乙＝5.2，
2
甲
2
乙
∴甲种水稻比乙种水稻长得更高一些，
∴乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．
范例2：在统计中，样本方差可以近似地反映总体的 ( )
A．平均状态 B．波动大小
C．分布规律 D．最大值和最小值
B
仿例：已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差s ＝1.327 5，乙种棉花的纤维长度的方差s ＝1.877 5，则甲、乙两种棉花质量较好的是______．
变例：公式s2＝［(x1－20)2＋(x2－20)2＋…＋(x10－20)2］中，数字10，20分别代表样本的_______和_________．
2
甲
2
乙
甲
容量
平均数
归纳总结
作用
步骤
比较数据的稳定性.
先计算样本数据的平均数，然后计算样本方差，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
用样本方差估计总体方差
随堂练习
1.样本方差的作用是( )
A.估计总体的平均水平
B.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
C.表示总体的波动大小
D.表示样本的平均水平
B
2．砀山梨以其皮薄酥脆、汁水丰富而闻名．某超市计划采购一批砀山梨进行销售，在采购过程中，分别从甲、乙两个经销商处随机挑选了20个砀山梨进行称重，发现甲、乙两个样本质量的平均数均为300 g，方差分别为560，212，则________(填“甲”或“乙”)经销商的砀山梨大小更均匀.
乙
3．科学家记录了四种花卉的平均开花天数(天数越短开花越快)和方差(方差越小开花越稳定)，数据如下表所示，开花最快且最稳定的是(　　)
A.甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
B
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均开花天数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
4.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73
乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75
解：样本数据的平均数分别是：　
　 样本平均数相同，
估计这批鸡腿的平均
质量相近．
解：样本数据的方差分别是：　　　
由可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；
S = ≈ 3.
2
甲
S = ≈ 8.
2
乙
2
甲
2
乙
由s ＜s 可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均
匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
5.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
品种 各试验田每公顷产量（单位：吨）
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.58 7.44 7.49
7.58 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
农科院应该选择乙种甜玉米种子
S = ≈ 0.01.
2
甲
S = ≈ 0.002.
2
乙
6.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
这节课的收获是什么？
课堂小结

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