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沪科版-数学-八年级下册
第20章 数据的初步分析
20.3　数据的离散程度
20.3.1　离差平方和与方差
旧知回顾
1.描述一组数据的集中趋势，常用哪些统计量？
平均数、中位数、众数
2.若两组数据的平均数、中位数都相同，能否说明它们的分布完全一致？
不能
知识模块一　离差平方和及方差的相关概念
探究新知
现有甲、乙两名射击选手，教练需要从中挑选一位成绩稳定的参加全市运动会.
甲、乙两名射击选手的测试成绩如下表所示：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的命中环数 7 8 8 8 9
乙的命中环数 10 6 10 6 8
你能帮助教练选出合适的人选吗？
思考1 分别计算两名射击选手的平均成绩.
甲选手的平均成绩为： = 8环.
乙选手的平均成绩为： = 8环.
思考2 请根据这两名射击选手的成绩在图中画出折线统计图.
0
1
2
3
4
5
成绩/环
射击顺序
2
4
6
8
10
乙
甲
思考3 假如你是教练，你认为选择哪一位射击选手更合适？
甲、乙两名选手的平均成绩一样，但从图表来看，甲的成绩上下浮动性小，相对稳定，所以选择甲更合适.
典例精析
例 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
上面两组数据的平均数分别是甲=7.537，=7.515.
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下图：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较上面两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量比较集中地分布在平均产量附近.
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？
设一组数据是x1，x2，…，xn，它们的平均数是，我们将（x1－）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2称为这组数据的离差平方和，可以简记.
方差可以反映数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
将s2＝［（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2］称为这组数据的方差．
甲、乙两组数据的方差分别是：
≈0.010.
≈0.002.
∵∴乙种甜玉米的产量比较稳定.
综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区适合种植乙种甜玉米.
知识模块二　用离差平方和、方差刻画数据的离散程度
例 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如表所示.
甲 163 164 164 165 165 166 166 167
乙 163 165 165 166 166 167 168 168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
=166.
=165.
1.5.
.
由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
方差分别是
典例精析
范例：数据5，6，7，8，9的离差平方和等于_____．
10
2
甲
2
乙
2
丙
2
丁
仿例1：某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是s ＝0.9，s ＝0.4，s ＝1.2，s ＝0.6，则成绩最稳定的选手是( )
A．甲　　　　　　　B．乙　　　　　　　
C．丙　　　　　　　D．丁
B
仿例2：每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生赵明和何亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩：
赵明：25　　23　　27　　29　　21
何亮：24　　25　　23　　26　　27
试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数，同时比较他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？
解：何亮的成绩更稳定．理由如下：
2
赵明
2
何亮
2
赵明
2
何亮
赵明五次成绩的平均数为赵明＝×(25＋23＋27＋29＋21)＝25（个）.
赵明五次成绩的离差平方和为M赵明＝［(25－25)2＋(23－25)2＋(27－25)2＋(29－25)2＋(21－25)2］＝40.于是方差s ＝＝8.
何亮五次成绩的平均数为何亮＝×(24＋25＋23＋26＋27)＝25（个）．
何亮五次成绩的离差平方和为M何亮＝(24－25)2＋(25－25)2＋(23－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＝10.于是方差s ＝＝2.
从方差来看，s ＞s ，因此，何亮的成绩更稳定．
归纳总结
方差
概念
意义
….
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
随堂练习
1．已知一组数据：5，6，6，6，7，这组数据的平均数是__________，离差平方和是__________，方差是________.
2．已知一组数据的方差为s2＝[(x1－6)2＋(x2－6)2＋(x3－6)2＋(x4－6)2]，则这组数据的样本容量是________，平均数是________.
6
2
0.4
4
6
3．甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测(单位：次/min)，监测数据的平均值均为72次/min，心率波动的方差分别为s甲2＝1.3，s乙2＝1.7，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是________．(填“甲”或“乙”)
甲
4．甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是s甲2＝27，s乙2＝19，s丙2＝1.6，s丁2＝7，导游小明喜欢带游客年龄相近的团队，则在这四个团中，他应选________团.
丙
5．油菜花不仅美化环境，还具有经济价值．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，并统计了这三个品种油菜花近三年的亩产量平均数和方差，具体数据如下表：
现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种(填“甲”“乙”或“丙”).
乙
6.八年级(2)班举办了主题为“庆元旦，
迎新春”的演讲比赛.由学生1，学生2，
老师、班长一起组成四人评委团，对
演讲者现场打分，满分10分.如图是甲、
乙两人的演讲得分的不完整折线统计
图，已知两人得分的平均数都是8分.
(1)班长给乙的打分是___分，补全折线统计图；
8
解：补全图形如图所示.
(2)在参加演讲的同学中，若某同学得
分的四个数据的方差越小，则认为评
委对该同学演讲的评价越一致.请通过
计算推断评委对甲、乙两位同学中哪
位同学的评价更一致.
因为 分，
所以 ,
,
而，即 ，
所以评委对乙同学的评价更一致.
这节课的收获是什么？
课堂小结

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