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沪科版-数学-八年级下册
第17章 一元二次方程及其应用
第17章 小结与复习
知识结构
一元二次方程
解法
根的判别式
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根与系数的关系
应用
知识模块一　一元二次方程的解法
知识回顾
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
一般形式：
1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________.
x2 – 5x – 4 = 0
1，– 5，– 4
2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____.
– 3
跟踪训练
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式
(mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0)
适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
x＝ (a≠0，b2-4ac≥0)
思 考：
解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.
配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.
因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.
1. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ）
A. x2 – 2x = 5 B. 2x2 – 4x = 5
C. x2 + 4x = 5 D. x2 + 2x = 5
C
跟踪训练
2. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2 + 6x + 7 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（3）x2 + 4x = 5(x + 4).
解：（1）移项，得 x2 + 6x = –7
配方，得 x2 + 2×3x + 9 = –7 + 9
则 (x + 3)2 = 2
开平方，得 x+3=±
所以原方程的根是x1=
（2）2x2 – 3x – 5 = 0；
（3）x2 + 4x = 5(x + 4).
（2）∵ a = 2，b = – 3，c = – 5，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×2×(– 5) = 49 > 0.
代入求根公式，得x = =
所以原方程的根是x1=
（3）移项，得
因此，有 x – 5 = 0 或 x + 4 = 0.
所以原方程的根是
x2 + 4x – 5(x + 4) = 0.
提取公因式，得
(x – 5)(x + 4) = 0.
3. 对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2} = 1，min{– 2，– 3} = – 3. 若 min{(x – 1)2，x2} = 1，则 x 的值为________.
2 或 – 1
① (x – 1)2 = 1，且 (x – 1)2 < x2
② x2 = 1，且 x2 < (x – 1)2
自主探究
范例1：下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为
( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2－2＝(x＋3)2
C．x2＋－5＝0 D．x2－1＝0
D
仿例：若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
B
范例2：用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为( )
A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1
仿例1：方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是( )
A．1，－2 B．3，－2 C．0，－2 D．1
仿例2：已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为　　.
A
B
7
知识模块二　一元二次方程根的判别式和根与系数
的关系
1. 根的判别式
Δ = b2 – 4ac
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
2. 根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么 x1+x2= x1x2=
跟踪训练
1. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x – 1 = 0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A. a ≠ 0 B. a > – 1 且 a ≠ 0
C. a ≥ – 1 且 a ≠ 0 D. a > – 1
B
Δ = 22 + 4a > 0
a ≠ 0
2. 关于 x 的一元二次方程 3x2 – 2x + m = 0 有两根 x1，x2，其中一根 x1 = 1，则这两根之积为（ ）
A. B. C.1 D.－
D
（1）求 k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是 x1，x2，且=
试求 k 的值.
解：（1）根据题意，得
Δ = (–2)2 – 4×1×(2k – 1) = 8 – 8k.
因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0，即 8 – 8k ≥ 0.
解得 k ≤ 1.
所以当 k ≤ 1 时，方程有实数根.
3. 已知关于 x 的方程 x2 – 2x + 2k – 1 = 0 有实数根.
（2）因为 x1，x2 是方程的两根，所以 x1 + x2 = 2，
x1x2 = 2k – 1 .
解得=.
经检验，=.都是原方程的根，
由（1），k ≤ 1，所以.
= =
= =
自主探究
范例3：不解方程，判断所给方程：①x2＋3x＋1＝0；②x2＋4＝0；③－x2＋x－1＝0中有实数根的方程有　　.
仿例1：关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　　.
1个
6
仿例2：设a，b是方程x2＋x－2 026＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为　 　.
仿例3：设关于x的方程2x2＋bx＋2＝0的两根是α，β，且α2＋β2＝＋，则b＝　 　.
2 025
－4
知识模块三　一元二次方程的应用
步骤：
审、找、列、解、验、答
几种常见类型
面积问题
数字问题
变化率问题
循环问题
商品利润问题
可化为一元二次方程的分式方程
跟踪训练
1. 某超市一月份的营业额为 200 万元，一、二、三月份的总营业额为 1000 万元，设平均每月营业额的增长率为 x，则由题意列方程为（ ）
A. 200 + 200×2x = 1000
B. 200(1 + x)2 = 1000
C. 200 + 200×3x = 1000
D. 200[1 + (1 + x) + (1 + x)2] = 1000
D
2. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若以每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少？
解：设销售单价应为 x 元，则月销售量为 [500 – 10(x – 50)] kg.
根据题意，得 (x – 40)[500 – 10(x – 50)] = 8000
解方程，得 x1 = 60，x2 = 80.
因为月销售成本想要不超过 10000 元，即 40×[500 – 10(x – 50)] ≤ 10000
解得 x ≥ 75.
所以 x1 = 60 不合题意，所以 x = 80.
答：销售单价应为 80 元.
自主探究
范例4：甲乙两地相距36 km，小明骑自行车往返于甲、乙两地，去时的速度比返回时的速度多5 km/h，故少用40 min，求往返速度各是多少？若设去时的速度为x km/h，则所列的方程是　 　.
－＝
仿例：某电脑公司2025年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设平均增长率为x，则
200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝950，整理，得
x2＋3x－1.75＝0，
解得x＝50%.
答：增长率为50%.
随堂练习
1. 在忽略空气阻力的条件下，物体自由下落，其下落的高度 h（单位：m）与下落的时间 t（单位：s）有如下关系：h = 4.9t2. 如图，今有一铁球从距地面 44.1 m 处自由落下，求此铁球落到地面所用的时间.
(单位：m)
44.1
解：将 h = 44.1 代入 h = 4.9t2 中，得
4.9t2 = 44.1
x2 = – 3 不合题意，所以 x = 3.
答：此铁球落到地面所用时间为 3 s.
解方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
(单位：m)
44.1
2. 一个正的两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，新的两位数与原来的两位数的积为 736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (5 – x).
根据题意，得 [10x + (5 – x)][10(5 – x) + x] = 736
解方程，得 x1 = 2，x2 = 3，则 5 – x1 = 3，5 – x2 = 2.
所以原来的两位数是 23 或 32.
3.有一张长方形的桌子，长 2 m、宽 1 m，将一块长方形桌布铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的 2 倍. 桌布的长和宽各是多少？
解：设各边垂下的长度是 x m，则桌布的长是 (2x + 2) m，宽是 (2x + 1) m.
根据题意，得 (2x + 2)(2x + 1) = 2×2×1
解方程，得x1 =－ ，x2 = .
x1 =－ ，不合题意，所以x =
所以2x+2 = ，2x+1 = .
答：桌布的长是m，宽是m.
4. 把 195 张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少 2，学生有多少人？
解：设学生有 x 人，则每人分得的图片数为 (x – 2).
根据题意，得 x(x – 2) = 195
解方程，得 x1 = 15，x2 = – 13.
x2 = – 13 不合题意，所以 x = 15.
答：学生有 15 人.
5. 为加速推进科技自立自强，我国全年研究与试验发展经费从 2012 年的 10298 亿元提高至 2022 年的 30783 亿元，居世界第二. 2020 年我国全年研究与试验发展经费为 24393 亿元，求 2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率.（精确到 1%）
解：2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率是 x ，根据题意，得
24393(1 + x)2 = 30783
解方程，得 x1 ≈ 0.12，x2 ≈ – 2.12.
x2 ≈ – 2.12 不合题意，所以 x ≈ 0.12 = 12%.
答：2020 年至 2022 年我国全年研究与试验发展经费的年平均增长率是 12%.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课堂作业
完成对应课时练习。

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