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沪科版-数学-八年级下册
第20章 数据的初步分析
20.5　数据分组
导入新课
设一组数据是x1，x2，…，xn，它们的平均数是，我们将（x1－）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2称为这组数据的离差平方和，可以简记.
方差可以反映数据的波动程度：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
将s2＝［（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2］称为这组数据的方差．
我国10个省份某年人均地区生产总值(简称人均GDP，单位:万
元)的数据如下表所示:
如何将这些省份按人均GDP分成两组，保证“组内省份的GDP差不多，组间差异大”？
省份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16
知识模块一　组内、组间离差平方和的有关概念及计算
探究新知
一般地，设有一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，假设这些数据都不相等，其平均数记为 x，则离差平方和为=（x1- x）2+（x2- x）2+…+（xn- x）2.
如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组（称为第一组），后（n-m）个数据为一组（称为第二组），那么这n个数据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度.
其中，
记
记
则=（x1- x）2+（x2- x）2+…+（xn- x）2
=（x1-)2+ （x2-)2+ +（xm-)2+（xm+1-)2+（xm+2-)2 + +（xn-)2+
=+
其中 =（x1-)2+ （x2-)2+ +（xm-)2+（xm+1-)2+（xm+2-)2 + +（xn-)2称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；=m（- x）2+（n-m）（- x）2，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异.
一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 S2不变，只需考虑使组内离差平方和达到最小即可.
省份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16
解：将表中10个数据按从小到大排列，得到6.24，7.16，7.18，7.37，8.85，10.07，10.11，12.13，15.68，16.42.
将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和，如下表.
分组 组内离差平方和
第1个间隔
第2个间隔
第3个间隔
第4个间隔
第5个间隔
第6个间隔
第7个间隔
第8个间隔
第9个间隔
99.546
87.023
70.706
50.822
40.050
36.286
24.713
28.399
72.195
观察组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10}和{省份1，省份5，省份6}.
典例精析
范例1：研究人员比较两种教学法（甲、乙）的效果．甲教学法组3人，成绩为{85，90，95}；乙教学法组3人，成绩为{75，80，85}．
(1)计算总平均值；
(2)计算总体离差平方和；
解：(1)＝(85＋90＋95＋75＋80＋85)÷6＝85（分）.
(2)总体离差平方和为(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＝0＋25＋100＋100＋25＋0＝250.
(3)计算组内离差平方和；
(4)计算组间离差平方和；
(3)甲＝(85＋90＋95)÷3＝90，乙＝(75＋80＋85)÷3＝80.
组内离差平方和为(85－90)2＋(90－90)2＋(95－90)2＋(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝(25＋0＋25)＋(25＋0＋25)＝100.
(4)组间离差平方和为3×(90－85)2＋3×(80－85)2＝3×25＋3×25＝150.
(5)验证总体离差平方和＝组内离差平方和＋组间离差平方和是否成立．
(5)100＋150＝250成立．
知识模块二　利用组内离差平方和进行分组
10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示.
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18
解：将表中的数据按从小到大排列，可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔
第2个间隔
第3个间隔
第4个间隔
第5个间隔
第6个间隔
第7个间隔
第8个间隔
第9个间隔
0
32
98.7
132
228.8
308.8
397.4
562
789.6
584.2
380.9
285.7
158.8
113.2
62
14
0.5
0
584.2
412.9
384.4
290.8
342
370.8
411.4
562.5
789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小.
因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
合理.这样分组大致沿秦岭淮河一线分为南北方.
结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？
组内离差平方和最小原则进行数据分组的步骤：
(1)列数据：将已知数据按从小到大的顺序排列.
(2)列表：分别求数据每一个间隔的分组分成的两组数据的离差平方和.
(3)求和：将两组数据的离差平方和求和,选择组内离差平方和最小的分法.
(4)写结论：按所求间隔分组，得出结论.
典例精析
范例2：某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，按“组内成绩更集中”的原则分为两组（一组3人，一组4人），确定最优分组．
方式1：第一组{75，80，85}（3人），第二组{90，95，100，105}（4人）.
第一组均值1＝(75＋80＋85)÷3＝80，
离差平方和为(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50.
第二组均值2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5.
离差平方和为(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
组内离差平方和为50＋125＝175.
方式2：第一组{75，80，85，90}（4人），第二组 {95，100，105}（3人）.
第一组均值1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5.
离差平方和为(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
第二组均值2＝(95＋100＋105)÷3＝100，
离差平方和为(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50.
组内离差平方和为125＋50＝175.
步骤3：结论
最优分组为{75，80，85}和{90，95，100，105}（或{75，80，85，90}和{95，100，105}），
组内离差平方和最小，组内成绩更集中．
归纳总结
数据的
分组
组内离差平方和：数值越小，组内差异越小
组间离差平方和：数值越大，不同组之间差异越明显
总体离差平方和=组内+组间
根据组内离差平方和最小的原则分组
随堂练习
1.在跳绳测试中，某小组5位成员每分钟跳绳次数如下：175，176，175，175，180，若根据每分钟跳绳次数的组内离差平方和最小的原则将这5位成员分成两组，则需将数据由________到______排列，共分成________种情况．
小
大
4
2.小红同学为了在明年中考体育考试中取得好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内做仰卧起坐的个数分别为:28，25，30，27，30，26.按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是(　　)
A. B. C. D.5
B
分组
第1个间隔 0 12.76 12.76
第2个间隔 0.5 6.75 7.25
第3个间隔 2 2.67 4.67
第4个间隔 5 0 5
第5个间隔 14.8 0 14.8
3.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为(　　)
A．2，3
B．3，2
C．3，4
D．2，2
D
4.10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为两组.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 -3 -11 10 21 22 12 9 17
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第三组离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
解：将表中的数据按从小到大排列：可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
解：将这5个数据从小到大排序：65，69，70，80，81.
计算组内离差平方和(保留一位小数)：
4.5个苹果的直径(单位：mm)分别为65，69，81，80，70，按照“组内离差平方和最小”的原则，把这5个苹果按直径大小分成三组．
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组1个，第三组3个 74.0
第一组1个，第二组2个，第三组2个 1.0
第一组1个，第二组3个，第三组1个 74.0
第一组2个，第二组1个，第三组2个 8.5
第一组2个，第二组2个，第三组1个 58.0
第一组3个，第二组1个，第三组1个 14.0
第2种情况的组内离差平方和最小，因此把这5个苹果按直径大小分成三组是{65}，{69，70}和{80，81}．
这节课的收获是什么？
课堂小结

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