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沪科版-数学-八年级下册
第19章 四边形
第19章 小结与复习
知识结构
多边形
四边形
平行四边形
梯形
矩形
菱形
正方形
要点梳理
一、多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是 ,
正多边形每个外角的度数是 .
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
二、平行四边形的性质
对角线互
相平分
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
B
C
D
A
O
两条平行线之间的距离处处相等
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD = BC，AB = DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB = DC，AB∥DC，
三、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OC，OB = OD，
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD∥BC，AB∥DC，
B
C
D
A
O
1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
四、三角形的中位线
用符号语言表示：
∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DE= BC.
E
A
B
C
D
对边 角 对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
五、矩形、菱形、正方形的性质
条件
①定义：有一个角是直角的平行四边形.
②定理1：对角线相等的平行四边形.
③定理2：三个角是直角的四边形.
①定义：一组邻边相等的平行四边形.
②定理1：四条边都相等的四边形.
③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.
①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.
②有一组邻边相等的矩形.
③有一个角是直角的菱形.
六、矩形、菱形、正方形的判定方法
考点讲练
知识模块一 多边形的内角和与外角和
例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.
解： 设此多边形的每个外角的度数为 x，则每个相邻内角的度数为 4x.
则有 x + 4x = 180°，解得 x = 36°.
∴ 这个多边形的边数为 360°÷36° = 10.
在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列方程求解.
归纳拓展
1. 一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是
______.
6
【解析】因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6.
针对训练
自主探究
范例1：如果两个正多边形的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，那么这两个正多边形的边数分别是 ( )
A．4，8 B．5，10 C．6，12 D．7，14
仿例：n边形的n个内角与某一个外角的和为1 125°，则n等于　　.
B
8
知识模块二 平行四边形
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD
C．AB = CD D．AC = BC
【解析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得出 A、B、C 项正确，不能推得 AC = BC.
D
方法总结 本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等的性质.
2. 如图， ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = CE.
针对训练
证明：在 ABCD 中，∠B =∠D，
AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD.
∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，
∴∠EAB =∠BAD，∠FCD = ∠BCD，
∴∠EAB = ∠FCD.
在△ABE 和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF.
∴ BE = DF．
又 AD = BC，∴ AF = CE．
例3 如图，在 ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = 10 cm，BD = 6 cm，
∴ OA = OC = AC = 5 cm，OB = OD = BD = 3 cm，
∵∠ODA = 90°，
∴ AD == 4 cm．
A
针对训练
【解析】在 ABCD 中，∵ AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，
∴ AO = 12 cm，BO = 19 cm，BC = AD = 28 cm.
∴ △BOC 的周长是 12 + 19 + 28 = 59 (cm).
3. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（ 　）
A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm
B
B
C
D
A
O
自主探究
范例2：在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④AD＝BC.以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是
　 　.
①②或②④或①③
仿例1：如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是　　.
11
仿例2：如图，已知 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H，连接EF.
(1)图中共有哪几个平行四边形？
(2)连接GH，判断GH与BC的关系并说明理由．
解：(1) ABCD， ABFE， EFCD， AFCE， BFDE， GFHE共6个；
(2)GH∥BC且GH＝BC. 理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∴四边形ABFE是平行四边形．
∴BG＝EG.同理CH＝EH.
∴在△BCE中，GH∥BC且GH＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE BF.
∥
＝
知识模块三 矩形、菱形、正方形
范例3：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是 ( )
A．1.5　　　　　B．2　　　　　
C．2.25　　　　　D．2.5
B
仿例1：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF的度数为　 .
60°
仿例2：如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝3cm，M，N分别是AC，AB上的点，P，Q两点在BC上，且四边形NPQM是正方形，则这个正方形的周长是　 .
8 cm
随堂练习
1.若一个多边形的内角和等于 ，则它是( )
D
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
2. (真实情境)“体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．点点沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身(如图)，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是________.
360°
3.在中， ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是对角线 的三等分点.
(1)求证：四边形 是平行四边形；
证明：如图，连接交于点 ，
O
四边形 是平行四边形，
， .
，是对角线 的三等分点，
，
， ，
四边形 是平行四边形.
(2)若，，，求 的长.
解：，，， 是对角线的三等分点，
， .
，
，
，
四边形 是平行四边形，
.
5. 如图，用两个图钉将一个橡皮筋的两个端点， 固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，、分别为，的中点，拉动点 至点的过程中， 的长度( )
A.增长 B.缩短
C.不变 D.先增长后缩短
C
6．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为________.
12
7．下列说法错误的是(　　)
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D
8．如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠ACB＝40°，则∠E的度数是______.
70°
课堂小结
多边形的内角和与外角和
内角和计算公式
(n - 2)×180° (n≥3 且取整数)
外角和
多边形的外角和等于 360°
特别注意：与边数无关
正多边形
内角=，外角=.
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判定
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平 行 四 边 形
三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
课堂作业
完成对应课时练习。

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