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华师版 八年级 数学（下）
第16章 数及其图象
16.2　函数的图象
16.2.1　平面直角坐标系
【学习目标】
1．让学生认识并会画平面直角坐标系．
2．让学生体会平面直角坐标系的地位和作用．
【学习重点】
平面直角坐标系．
【学习难点】
平面直角坐标系上的点与有序数对的对应关系．
新课导入
【旧知回顾】
1．如图是一条数轴，我们已经知道，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．点A，B的坐标是多少？
解：点A的坐标是4，点B的坐标是－2.5.
2．我们学过利用数轴研究一些数量关系，在实际生活中，还会遇到平面图形的位置关系问题，这些问题用一条数轴还能描绘吗？
答：不能，因为数轴只能描绘一条直线，而平面图形是由多条直线组成的．
探究新知
知识模块一　认识平面直角坐标系
思考1 在班里老师想找一个学生，你知道是谁吗？
思考2 你认为确定一个位置需要几个数据？
提示1：只给一个数据“第２列”，你能确定老师要找的学生是谁吗？
提示2：给出两个数据“第２列，第3排”，你能确定是谁了吗？
讲台
2
1
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
第3排
第2列
（2,3）
（列数，排数）
约定:列数在前，排数在后
（1）在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？
（2）如果将“6排3号”简记作（6，3），那么“3排6号”如何表示？（5，6）表示什么含义？ （6，5）呢
(3) 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？
答:两个数据:排数和号数.
做一做
合作探究
范例1.在一个直角坐标系中分别描出坐标是(2，3)，(－2，3)，(3，－2)的点Q，S，R，Q(2，3)与P(3，2)是同一点吗？S(－2，3)与R(3，－2)是同一点吗？
解：Q(2，3)与P(3，2)不是同一点；S(－2，3)与R(3，－2)不是同一点．所标的点如图．
小丽能根据小明的提示从图中找出图书馆的位置吗？
2.周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置.
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？
1.小明是怎样描述图书馆的位置的？
2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？
3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
想一想
若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系.
x
y
o
30
20
10
20
10
-10
-20
-30
-40
-20
-50
-10
-70
-60
-50
-40
-30
-80
（-50,
北
西
30）
人民路
中山路
水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们称为坐标轴.两轴交点O称为原点.
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，如图所示.
y
O
x
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
概念学习
思考：如何在平面直角坐标系中表示点呢？
这样P点的横坐标是-2，纵坐标是3，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(-2，3)
P(-2，3)就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
y
思考：如图点P如何表示呢？
后由P点向y轴画垂线，垂足N在y轴上对应的数是3. 称为P点的纵坐标.
先由P点向x轴画垂线，垂足M在x轴上对应的数是-2；称为P点的横坐标.
P
N
M
1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
2
3
4
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
0
Ａ
（４，３）
x
y
1. 找出点Ａ的坐标.
(1)过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数是４；
试一试
点Ａ的坐标为（４，３）
(2)过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数是３；
x
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-1
-2
-3
y
2. 在平面直角坐标系中找点A(3,-2)
由坐标找点的方法：
(1)先找到表示横坐标与纵坐标的点；
(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；
(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.
A
A
B
C
E
F
D
例1 写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
-1
-2
-3
【答案】
A（-2，0）
B（0，-3）
C（3，-3）
D（4，0）
E（3，3）
F（0，3）
y
O
x
典例精析
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
y
·
B
·
A
·
D
·
C
在直角坐标系中描出下列各点：
A（4，3），
B（-2，3），
C（-4，-1），
D（2，-2）.
练一练
归纳总结
1．在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对
_________来表示．
例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点M和点N.这时点M在x轴上对应的数为3，称为点P的_______；
有序实数
横坐标
点N在y轴上对应的数为2，称为点P的________．依次写出点P的横坐标与纵坐标，得到一对有序实数(3，2)，称为点P的坐标，这时点P可记作P(3，2).
纵坐标
3．在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，分别称为第_____________________．
4．坐标轴上的点________任何一个象限．
一、二、三、四象限
不属于
5．四个象限内的点的坐标的特征：
第一象限：__________；第二象限：__________；
第三象限：__________；第四象限：__________．
(＋，＋)
(－，＋)
(－，－)
(＋，－)
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗
A
A′
M
N
∴A′就是点A关于直线MN的对称点.
O
（2）延长AO至A′,使OA′=AO.
（1）过点A作AO⊥MN，
垂足为点O，
知识模块二　平面直角坐标系中各种对称关系的点的特征
x
y
O
问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗
A (2,3)
A′(2,-3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
x
y
O
C (3,-4)
C '(3,4)
B(-4,2)
B '(-4,-2)
(x , y)
关于 x 轴
对称
( , )
x
-y
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
（简称：横轴横相等）
归纳总结
1.点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____,
b =_____.
(- 5 , -6 )
-2
5
练一练
问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗
x
y
O
A (2,3)
A′(-2,3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
x
y
O
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
C (3,-4)
C '(-3,-4)
B(-4,2)
B '(4,2)
(x , y)
关于 y轴
对称
( , )
-x
y
做一做
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等.
（简称：纵轴纵相等）
归纳总结
1.点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_____,
b =_____.
(5 , 6 )
2
-5
练一练
如图，分别写出以下各点关于原点对称的点的坐标.
-4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x
y
4321
-1
-2
-3
-4
E
B
A
D
C
H
F
G
M
N
Q
思考：关于原点对称的两点的坐标又有何特征呢？
P
A(3，1),
B(1，3),
P(0，3),
C(-1，3),
D(-3，1)
M(0，3)
E(-3，-1),
F(-1，-3),
Q(0，-3),
G(1，-3),
H(3，-1)
N(0，-3)
O
x
y
（x，y）
M
N
（-x，-y）
关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.
归纳总结
点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ）
A.关于原点对称
B.关于 x轴对称
C.关于 y轴对称
D.不能构成对称关系
B
练一练
例2 已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，
解得a＝－8，b＝－5；
典例精析
例2 已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2018的值．
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2018＝1.
解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．
例3 已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
解：依题意得P点在第四象限，
解得 -1
即a的取值范围是-1
∴
方法总结
解决此类题，一般先判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解．
归纳总结
(1)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反．
(2)关于y轴对称的两点，横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同．
(3)关于原点对称的两点，横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标绝对值也相等，符号相反．
平面直角坐标系
定义：原点、坐标轴
点的坐标
定义与符号特征
对称点的坐标特征
点的坐标的确定
课堂小结
1.如图，点A的坐标为( )
A. ( -2，3)
B. ( 2，-3)
C . ( -2，-3)
D . ( 2，3)
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
A
A
随堂检测
2.如图，点A的坐标为________，
点B的坐标为________ .
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
A
B
(-2,0)
(0,-2)
3.在 y轴上的点的横坐标是____，
在 x轴上的点的纵坐标是 ____.
4.点 M（- 8，12）到 x轴的距离是_____，到 y轴的距离是_____ .
0
0
12
8
5.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（－2，3）
C．（－3，2） D．（－3，－2）
A
6.如图，在平面直角坐标系中，点P(－1，2)关于直线x=1的对称点的坐标为（　　）
A．（1，2）
B．（2，2）
C．（3，2）
D．（4，2）
C
A（3，6）
B（0，－8）
C（－7，－5）
D（－6，0）
E（－3.6，5）
F（5，－6）
G（0，0）
第一象限
第三象限
第二象限
第四象限
y 轴上
x 轴上
原点
7.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？
8.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
解：（1）∵点P(a－2，2a+8)在x轴上，
∴2a+8=0，解得a=－4，
故a－2=－4－2=－6，则P(－6，0)；
8.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（2）点P在y轴上；
（2）∵点P(a－2，2a+8)在y轴上，
∴a－2=0，解得a=2，
故2a+8=2×2+8=12，则P(0，12)；
8.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
解：∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴，
∴a－2=1，
解得 a=3，
故2a+8=14，则P(1，14)；
8.已知点P(a－2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a－2=2a+8或a－2+2a+8=0，
解得 a=－10或a=－2，
故当a=－10时，则a－2=－12，2a+8=－12，
则P(－12，－12)；
故当a=－2时，则a－2=－4，2a+8=4，
则P(－4，4)．
综上所述，P(－12，－12)，(－4，4)．
作业布置
完成对应课时练习

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