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华师版 八年级 数学（下）
第16章 数及其图象
16.3　一次函数
16.3.1　一次函数
【学习目标】
1.让学生通过实际问题情境，体会一次函数的意义.
2.让学生了解正比例函数的概念，并了解它与一次函数的关系．
【学习重点】一次函数的定义．
【学习难点】一次函数的意义．
新课导入
【旧知回顾】
在研究函数图象时，横、纵轴上的点、交点表示什么意思？
答：表示的意义不一样，要从实际情境出发．交点表示两函数图象的横、纵坐标相同.
探究新知
知识模块一　一次函数的概念
问题一 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95 km/h.已知A地直达北京的高速公路全程为570 km，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离
分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并由此得出相应的值，就应该探求这两个变量的变化规律.
为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t(h)，汽车距北京的距离为s(km).根据题意，s和t的函数关系式是s＝570－95t.
(2)你能写出y与x之间的关系吗？
y=3+0.5x
问题二 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所
挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
问题三：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出y与x的关系吗
y=60－0.12x
上面的三个函数关系式:
(1)s＝570－95t.
(2)y=3+0.5x
(3) y=60－0.12x
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
当b=0时，y=kx，称y是x的正比例函数.
大家讨论一下,这三个函数关系式有什么关系
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
归纳总结
合作探究
范例1：若y＝(a＋3)x＋a2－9是正比例函数，则a＝____．
分析：正比例函数也是一次函数，只是没有常数项，即b＝0.一次函数的限制条件是：k≠0，所以有
3
所以a＝3
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(4)y=- ; (4)y= ; (6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
练一练
知识模块二　求一次函数的表达式
范例2.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
那么弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系式为 (　　)
A．y＝12＋0.5x　　　B．y＝12x＋0.5
C．y＝12x＋8 D．8＋0.5x
A
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
分析：由表可知：弹簧没挂物体时的长度为12 cm，每挂1 kg的物体时弹簧伸长0.5 cm，所以挂x kg物体时弹簧伸长0.5x cm，所以有y＝12＋0.5x.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
范例3.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
解：(1)∵y与x－3成正比例，∴设y＝k(x－3).
又∵当x＝4时，y＝3，∴3＝(4－3)k，解得k＝3，
∴y＝3(x－3)＝3x－9.
范例3.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3.
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
(2)y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5－9＝－1.5.
1.写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
典例精析
解：由圆的面积公式，得y=πx2,
y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
解：这个水池1h增加5m3水，x h增加5x m3水，
因而 y=15+5x,
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
2.已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
解：(1) 因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0，
所以 m＝±5且m≠5，所以 m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1
是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
1.已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：由题意可得m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
变式训练
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：由题意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
已知函数y=(m-1)x+1-m2
2.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.
解: y=0.03×(x-3500) (3500(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则
19.2=0.03×(x-3500),
x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
课堂小结
1.判断:
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
（ ）
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （ ）
√
√
随堂检测
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y时x的正比例函数.
≠2
=-2
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值；
解：根据题意，得∣m∣=1,
解得m=±1，
但m-1≠0,即m≠1,
所以m=-1.
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；
解：根据题意，得m2-9=0,
解得m=±3，
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
5. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.
(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
解:(1)y1 =x.
(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.
(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么
(2)y2=0.4x+12.
(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.
作业布置
完成对应课时练习

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