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华师版 八年级 数学（下）
第16章 数及其图象
16.4　反比例函数
16.4.2　反比例函数的图象和性质
【学习目标】
1．让学生理解反比例函数的图象是双曲线，并会利用描点法画出反比例函数的图象．
2．让学生结合图象说出它的性质，并会利用反比例函数的图象解决有关问题．
【学习重点】反比例函数的性质．
【学习难点】反比例函数的性质．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么是反比例函数？
答：一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
2．一次函数的图象和性质是什么？
答：一次函数的图象是一条直线．当k＞0，b≠0时，直线经过第一、二、三象限或第一、三、四象限且y随x的增大而增大；当k＜0，b≠0时，直线经过第一、二、四象限或经过第二、三、四象限且y随x的增大而减小．
探究新知
知识模块一　反比例函数的图象
1．画出函数y＝的图象．
解：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
x … －6 －3 －2 －1 … 1 2 3 6 …
y … －1 －2 －3 －6 … 6 3 2 1 …
描点，连线．用平滑的曲线将第一象限内各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限内各点依次连起来，得到图象的另一分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．如图①.
图①
2．反比例函数的图象有两支，通常称为双曲线．
3．同理画出反比例函数y＝－的图象．如图②.
图②
4．反比例函数的图象只能通过描点作图法画出，这也是学习和研究函数的基本功．
合作探究
范例1.某反比例函数的图象经过点(－1，12)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是 (　　)
A．(3，4)　　　　B．(4，3)　　　　
C．(－3，4)　　　D．(－4，－3)
C
范例2.如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为 (　　)
A．－4　 B．4　 C．－2　 D．2
D
分析：△ABO是直角三角形，而点A又在反比例函数图象上，所以可以设出点A的坐标（x, －），所以AB＝－，OB＝－x.于是可求出面积．
1. 反比例函数y=的图象大致是 ( )
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
练一练
2. 已知反比例函数y=的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点 A(2，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2的大小关系为( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为y=，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据2>5，可知y1，y2的大小关系.
知识模块二　反比例函数的性质及表达式的确定
观察上述两个所画的反比例函数图象，可以得到反比例函数y＝有下列性质：
1．当k＞0时，函数的图象在第________象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当x＞0(或x<0)时，y随x的增大而________；
2．当k＜0时，函数的图象在第________象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当x>0(或x<0)时，y随x的增大而________．
一、三
减小
二、四
增大
范例3.若反比例函数y＝(m＋1)x2－m2的图象在第二、四象限，求m的值．
合作探究
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴∴m＝－.
范例4.已知y是x－1的反比例函数，当x＝时，y＝2.求y与x的函数表达式，并求当x＝－时，y的值．
解：设这个函数的表达式为y＝.根据题意，
得k＝(－1)×2＝－1，
∴这个函数的表达式为y＝－.当x＝－时，y＝.
1.已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
针对训练
(2) 点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
O
x
y
2. 如图，是反比例函数y=图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.
1.点(2，y1)和(3，y2)在函数y=-上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
2.已知反比例函数y=(a-1) ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
3.已知反比例函数 y=(3m-8) 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
课堂小结
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象
反比例函数的性质及表达式的确定
1. 反比例函数y=的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
随堂检测
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与y=-的图象大致是 ( )
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
3. 已知反比例函数y=的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
m ＞ 2
4. 下列关于反比例函数y=-的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
5. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在第一、三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第 一、三象限，
所以有
解得 m=2.
6.已知反比例函数y=的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数y=的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得3= ，
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为y=.
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，得点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
作业布置
完成对应课时练习

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