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(共26张PPT)
华师版 八年级 数学（下）
第16章 数及其图象
16.2　函数的图象
16.5　实践与探索
第3课时　建立函数模型解决实际问题
【学习目标】
1．让学生学会用简单的已知函数来解决实际问题中变量的函数关系．
2．让学生体会到实际问题中数量之间的关系，并用函数的思想进行描述、研究其内在联系和变化规律．
【学习重点】应用一次函数与反比例函数解决实际问题．
【学习难点】应用一次函数与反比例函数解决实际问题．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么是待定系数法？
答：先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．
2．现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．本节课我们将学会怎样利用一次函数知识处理实际生活中收集到的经验数据．
探究新知
知识模块　用函数的知识解决实际问题
1.为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：
t/℃ ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60
V/cm3 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3
能否据此寻求 V 和 t 之间的函数关系式？
O
-10
-30
-20
-40
10
20
30
40
50
60
t/℃
V/cm3
998.5
999.0
999.5
1000.0
1000.5
1001.0
1001.5
1002.0
这些点大致位于同一条直线上，V与t之间近似地符合一次函数关系.
我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式.
t/℃ ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60
V/cm3 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3
O
-10
-30
-20
-40
10
20
30
40
50
60
t/℃
V/cm3
998.5
999.0
999.5
1000.0
1000.5
1001.0
1001.5
1002.0
如图所示的就是一条这样的直线，较接近的点可考虑取(10，1000.3)和(60，1002.3).
设V=kt+b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k=0.04，b=999.9．
V=0.04t＋999.9．
将直线稍稍挪动一下，换上其他适当的两点，试一试.
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式.
概括
通过上面的问题，我们知道建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列四个步骤完成：
(1)将得到的数据在平面直角坐标系中描出；
(2)观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式(一般采用待定系数法)；
(3)进行检验；
(4)应用这个函数模型解决问题.
归纳总结
小刚观察了学校新添置的一批课桌椅，发现它们可以根据人的身高调节高度. 他测量了一套课桌椅上的四档高度，得到如下数据：
凳高x/cm 37 40 42 45
桌高y/cm 70 75 78 82.5
请你和同学一起讨论，研究y与x可能满足什么函数关系.
练一练
凳高x/cm 37 40 42 45
桌高y/cm 70 75 78 82.5
O
35
40
45
x/cm
y/cm
70
75
80
85
解：设一次函数为y=kx+b(k≠0)，将表中数据任取两组，不妨取(37，70)和(42，78)代入，得
解得
所以y与x近似满足一次函数关系式y=1.6x+10.8.
2．在解决实际问题时．
(1)在实践生活中采集一组有限个有序数对；
(2)将这些有序数对作为点的坐标在坐标系上描出来；
(3)比对你已学过的函数图象，确定这些点是在某一类函数图象的附近，并写出这一函数的一般式；
(4)通过已知点的坐标确定函数一般式的参数；
(5)根据实际问题确定参数的范围；
(6)根据函数图象确定你所研究的问题中变量的变化规律.
甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y(km)，甲车行驶的时间为x(h)，
y与x之间的函数图象如图所示．
合作探究
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；
解：(1)300÷(180÷1.5)＝2.5(h).
答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5 h.
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
根据题意，得 解得
即甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋550 (2.5≤x≤5.5).
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．
(3)300÷[(300－180)÷1.5]＝3.75(h).
当x＝3.75时，y＝－100×3.75＋550＝175.
答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175 km.
1.研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系. 某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表：
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
随堂检测
(1)求у与x之间的函数关系式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700L时停止加热. 求停止加热时的气体温度.
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
解：(1)根据表格，可知气体温度每升高1℃，气体体积增大2L，则y=596+2(x-25)= 2x+546，
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+546.
(2)当y=700时，得2x+546=700，解得x=77.
答：停止加热时的气体温度为77℃.
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
2. 某校组织科技活动“机器人走进校园”，在校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了 A、B、C 三个互动区，机器人甲、乙分别从 A、C 两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以 20 m/min 的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时停留 4.5 min (与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向 C 区匀速行进. 机器人乙沿“勤学路”
以 10 m/min 的速度匀速向 B 区行进，
行至 B 区时接到指令立即匀速返回，
结果两机器人同时到达 C 区. 机器人
甲、乙距 B 区的距离 y (m) 与机器人乙行进的时间 x (min) 之间的函数关系如图所示.
请结合图象信息解答下列问题：
(1)A、C两区相距_____m，a=____；
(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30m？(直接写出答案即可)
240
7.5
A→B：150m
B→C：90m
甲：从A区匀速出发，速度是20m/min，到达B区停留4.5min后，继续向C区匀速行进.
乙：从C区匀速出发，速度是10m/min，到达B区后立即匀速返回.
甲、乙同时到达 C 区
(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(15，90)
乙到达B区
解：机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9(min)，
∴E(9，0)、F(15，90)，
用待定系数法可求得线段EF所在直线的函数表达式为
y=15x-135.
乙的速度为10m/min
(3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30m？(直接写出答案即可)
7.5 9 12
解：①0≤x≤7.5，由机器人甲、乙相距30m，得20x+10x+30=240，解得x=7.
②9≤x≤12，由机器人甲、乙相距30m，得15x-135=30，解得x=11.
③1290÷(15-12)=30(m/min)，
则y=30(x-12)=30x-360.
由机器人甲、乙相距30m，
得15x-135 -(30x-360)=30，解得x=13.
∴机器人乙行进的时间为7min或11min或13min时，机器人甲、乙相距30m.
3. 黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容. 如图，一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条长方形小路以供通行，滩涂起点 A 和终点 B 之间的距离为 18 m，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定. 设小路的长为 x m，宽为 y m，当 x = 20 时，y = 3.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）按照小路宽度为 4 m 搭建小路，
这种设计是否合理？请说明理由.
解：(1)根据石板搭建的小路面积一定，可得xy为定值，∴y与x之间的函数为反比例函数.
设y= (k≠0). 把x=20，y=3代入，解得k=60，
∴y与x之间的函数关系式为y= (x≥18).
(2)这种设计不合理，理由如下：
当y=4时，解得 x=15，
∵15<18，
∴不符合题意，这种设计不合理.
作业布置
完成对应课时练习

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