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华师版 八年级 数学（下）
第17章 平行四边形
17.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形及其边、角的性质
【学习目标】
1．让学生理解并掌握平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2.
2．让学生理解两条平行线的距离的概念，培养学生综合运用知识的能力．
【学习重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质．
【学习难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？
答：四条线段首尾顺次相连组成的图形；四边形一组对边所在直线相交或平行．
2．一般四边形有哪些性质？
答：内角和、外角和都是360°.
3．平行线的判定和性质有哪些？
答：同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，两直线平行；两直线平行，同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补).
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
探究新知
知识模块一　平行四边形的定义，对边相等，对角相等
2.平行四边形用“□” 表示，如图，平行四边形ABCD记作□ABCD ( 要注意字母顺序).
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结
典例精析
已知：如图 ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
A
B
D
C
分析：作 ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
证明：如图．连结AC.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
在△ABC和△CDA中，∠1＝∠3，AC＝CA，∠2＝∠4，
∴△ABC≌△CDA.∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.
又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
练一练
根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD.
D
A
B
C
平行四边形的性质1,2
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗
测得AB=DC，AD=BC.
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
验一验
A
B
C
D
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证一证
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
A
B
C
D
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定
义，证明其对角相等？
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
平行四边形的性质
性质定理1
性质定理2
知识要点
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD和BC的长度相等.
理由如下：由题意知
AB//CD, AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
合作探究
范例1.如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CF
范例2.如图，在□ ABCD中，AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．
解：在□ ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.
∵AB＝8，∴DC＝8，
又∵AB＋BC＋DC＋AD＝24，
∴AD＝BC＝(24－2AB)＝4.
1.如图，在□ ABCD中.
(1)若∠A =32。,求其余三个角的度数.
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形,且 ∠A =32。(已知),
∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补),
∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。
针对训练
(2)连接AC，已知□ ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长.
解：∵ □ ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等).
又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知),
∴AB+BC= 10cm.
∵AC=7cm, ∴ △ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm.
A
B
C
D
2.(1)在□ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.
解： (1)∵∠A,∠B是平行四边形的两个邻角,
∴∠A+∠B=180°.
又∵∠A:∠B=2:3,
设∠A=2x,∠B=3x,
∴2x+3x= 180°, 解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
平行四边形的邻角互补
2.(2)若□ ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.
解： (2)在平行四边形ABCD中,
∵AB=CD，BC=AD.
又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm.
∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm,
∴3y+4y=14，解得y=2.
∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
归 纳
已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
3.如图，在□ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
∴ △ABE≌ △CDF.
∴ AB=CD，AB ∥ CD, ∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，
∠C=______ ， ∠D=______.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=_____.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
16
练一练
如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）,∴AE=CF.
D
A
B
C
F
E
知识模块二　两平行线间的距离
思考 在上述证明中还能得出什么结论？
DE=BF
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
夹在两条平行线间的平行线段相等.
C
B
F
E
A
D
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
归纳总结
平行线间的距离处处相等.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
合作探究
范例3.如图，点E，F分别是 ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm2，则△DCF的面积为____cm2.
10
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC =AB BC,= ×4×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高等于6cm．
练一练
平行四边形及其边、角的性质
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
平行线间的距离处处相等
两组对角分别相等，邻角互补
课堂小结
1.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A.45°
B. 55°
C. 65°
D. 75°
A
A
B
C
M
D
随堂检测
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( )
(2)平行四边形的四个内角都相等. ( )
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么它的周长是10cm. ( )
√
√
√
×
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48°. ( )
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°. ( )
×
×
3.如图，D、 E、F 分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平行四边形.
第3题图
3
4.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为___.
10
A
B
C
D
E
第4题图
解：在□ ABCD中，AB=DC,AD=BC
(平行四边形的对边相等)
∵ AB=8，DC=8
又∵AB+BC+DC+AD=24,
∴AD=BC= (24-2AB)=4
5.如图，在□ ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长.
B
C
D
A
6.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
A
B
D
C
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD=BC.
∴ ∠CDE= ∠DEA，∠CFB= ∠FBA.
又∵∠CDE= ∠ADE，∠CBF= ∠FBA,
∴ ∠DEA= ∠ADE，∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD, CF=BC,
∴AE= CF.
A
B
D
C
E
F
7.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.
8.如图，在 ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
证明： ∵ 四边形BEFM是平行四边形,　 ∴BM=EF,AB//EF.
∵ AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD.
∵AB//EF, ∴ ∠BAD=∠AEF,
∴∠CAD =∠AEF,
∴ AF=EF, ∴ AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
作业布置
完成对应课时练习

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