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华师版 八年级 数学（下）
第17章 平行四边形
17．1　平行四边形的性质
第3课时　平行四边形的对角线的性质
【学习目标】
1．让学生理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．让学生能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题，培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
【学习重点】
平行四边形中心对称的特征，平行四边形对角线互相平分的性质．
【学习难点】
综合运用平行四边形的性质，培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么样的四边形是平行四边形？
答：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的性质有哪些？
答：①具有一般四边形的性质(内角和是360°)；②对角相等，邻角互补；③对边平行且相等．
探究新知
知识模块一　平行四边形的对角线互相平分
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质定理3
应用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
归纳总结
合作探究
范例1：如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在 ABCD中，∵AB＝6，AO＋BO＋AB＝15，
∴AO＋BO＝15－6＝9.
又∵AO＝OC，BO＝OD，
∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2(AO＋BO)＝2×9＝18.
范例2：已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.
分析：要证明OE＝OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．注意观察OE，OF分别属于哪两个三角形？
证明：∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF，AE＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.
变式：若范例2中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么范例2的结论是否成立？
若将EF向两方延长，与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d)，范例2的结论是否成立，说明你的理由．(课后完成)
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
归纳总结
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长（　　）
A.26 B.34
C.40 D.52
B
练一练
2.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（　　）
A.9 B.18
C.27 D.36
B
知识模块二　平行四边形性质的综合运用
范例3：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.
∵C△AOB＋2＝C△BOC，
∴AB＋OA＋OB＋2＝BC＋OB＋OC，
即AB＋2＝BC.
又∵ ABCD的周长等于16，
∴2(AB＋BC)＝16，即4AB＋4＝16，
∴AB＝3，BC＝5.
范例4：如图，在 ABCD中，对角线AC＝21 cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE＝5 cm，AD＝7 cm，求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm，
则S ABCD＝AD·x.
∵S ABCD＝2S△ABC＝AC·BE，即7x＝21×5，
∴x＝15，
即AD和BC之间的距离为15 cm.
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
课堂小结
1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
B
C
D
A
O
D
随堂检测
2.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是
_______.
2
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵OA=OC
∴AC=
∴OA=AC=3
？
？
？
∵四边形ABCD是平行四边形.
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF.
求证:BE=DF.
A
B
C
D
O
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
∴OE=OA, OF=OC
∴OE=OF
∴ ∠BOE=∠DOF
∴ △BEO
∴BE=DF
A
B
C
D
O
E
F
作业布置
完成对应课时练习

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