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华师版 八年级 数学（下）
第17章 平行四边形
17.2　平行四边形的判定
第2课时　平行四边形的判定3
【学习目标】
1．让学生掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．让学生学会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
【学习重点】
平行四边形各种判定方法及其应用，特别是根据不同条件能正确地选择判定方法．
【学习难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
新课导入
【旧知回顾】
1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？
答：两组对边分别平行．
2．用以前所学的判定定理判定一个四边形是平行四边形的条件是什么？
答：(1)两组对边分别相等；(2)一组对边平行且相等
3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？
答：对角线互相平分的四边形是平行四边形．是真命题．
如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形.
知识模块一　对角线互相平分的四边形是平行四边形
探究新知
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
(验证)已知，如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△AOB和△COD中．
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳总结
“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是：四边形的对角线互相平分；
结论是：四边形是平行四边形．
这是一个真命题．可用尺规作图法进行验证．
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
合作探究
范例1：在 ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：证明这个四边形是平行四边形
的方法有：(1)两组对边分别相等；
(2)一组对边平行且相等；(3)平行四边形的定义：两组对边分别平行；(4)对角线互相平分．(较简单的)
B
D
A
C
E
F
证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
B
O
D
A
C
E
F
范例2：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 (　　)
A．OA＝OC，OB＝OD　　　　　　　　
B．AD∥BC，AB∥CD
C．AB＝DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AD＝BC
D
如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
练一练
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
合作探究
范例3：如图，在 ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，且BF＝DH.求证：AC和HF互相平分．
分析：因为AC和HF是四边形AFCH的对角线，所以要证明AC和HF互相平分，只需证明四边形AFCH是平行四边形.
证明：分别连结AH，CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵BF＝DH，
∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AC和HF互相平分．
范例4：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：根据∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以证明四边形ABCD的两组对边分别平行，从而根据定义可得四边形ABCD是平行四边形．
证明：在四边形ABCD中，
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2(∠A＋∠B)＝360°，即∠A＋∠B＝180°，∴AD∥CB，
同理可证：AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结
昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就
行了，可怎么画出原来的平行四
边形呢(A,B,C为三顶点,即找出第
四个顶点D)？
A
B
C
拓展探究
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
D
O
A
B
C
方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是
( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
C
练一练
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,
BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
4
5
3. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
阅读思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.两组边相等的四边形也不一定是平行四边形.
3cm
4cm
4cm
7cm
想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
随堂检测
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为（　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
3.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形. ( )
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. ( )
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )
√
×
×
×
√
4.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
5.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
=180 ， AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE=×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
6.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴DE+DF=AF+FC=AC=10．
作业布置
完成对应课时练习

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