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华师版 八年级 数学（下）
第17章 平行四边形
17.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定1，2
【学习目标】
1.让学生理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2.让学生学会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
【学习重点】平行四边形的判定方法及应用．
【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？
答：两组对边分别平行的四边形．平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
2．我们研究平行四边形是从哪几个方面进行的？
答：一般从边、角、对角线三方面进行．
知识模块一　定义判定法、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
探究新知
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
证一证
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1
B
D
C
A
归纳总结
合作探究
范例1：下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (　　)
A．AB＝BC＝CD　　　 B．AB＝AD，CD＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，∠B＝∠D
C
范例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且∠BAE＝∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，∠B＝∠D，AD＝BC.
又∵∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，BE＝DF，
∴AD－DF＝BC－BE，
即AF＝CE.∴四边形AECF是平行四边形．
1.如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
巩固提升
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
2.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=AD.
又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形．
3.如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.
问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
知识模块二　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
B
A
活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段 DC，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定定理1.
D
A
B
C
证明：连结AC.∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2.在△ABC和△CDA中，
∵AB＝CD，∠1＝∠2，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
归纳总结
范例3：如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC和DA上，且AF＝CE.
求证：四边形AECF是平行四边形．
合作探究
分析：根据已知条件AF＝CE，若运用平行四边形判定定理3，只需证明AF∥CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，即AF∥CE.
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(说明：当所要证的命题可以使用多种方法证明时，可根据题目的条件选择较简单的证明方法．)
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD，EB //FD．
又 ∵EB =AB ，FD =CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
1. 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
练一练
2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
3.如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.
在△ADC与△CEB中，
AD＝CE , CD＝BE , AC＝CB ,
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE.
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
平行四边形的判定1,2
判定定理1
判定定理2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
课堂小结
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（　　）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
C
随堂检测
2.如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF=_____ .
A
F
B
D
C
E
P
8
3.已知AD//BC ，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件_________________.
AD=BC或AB//CD
4.已知：如图，E,F分别是 平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点.求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
AD=BC
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴ED=BF,即ED BF.
∥
﹦
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.
∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等).
D
F
E
C
B
A
5.如图，已知E，F，G，H分别是 ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次,焊接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有余料), 请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
A
B
C
能力提升
C
A
B
F
E
D
D
C
A
B
E
A
B
C
F
D
E
作业布置
完成对应课时练习

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