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华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2　菱形
18．2.1　菱形的性质
第1课时　菱形的定义及性质
【学习目标】
1．让学生掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．让学生理解并掌握菱形的性质定理1、2，并会用这些性质进行有关的论证和计算．
【学习重点】菱形的性质定理1、2.
【学习难点】菱形的性质及菱形知识的综合应用．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么是平行四边形？什么是矩形？
答：有两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．平行四边形和矩形之间的关系是什么？
答：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形．
探究新知
知识模块一　菱形的定义
【自主探究】
做一做：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你将发现这是一个什么样的图形呢？
结论：这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
合作探究
范例1：如图，菱形ABCD中，E，F，G，H分别是四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中的菱形共有 (　　)
A．4个　　　　B．5个　　　　
C．6个　　　　D．7个
B
分析：数菱形的个数时，除了产生新的菱形外，原来的菱形不要被遗忘了．图中有四个小的菱形与一个大的菱形共5个，故选B.
知识模块二　菱形的性质
活动1 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
练一练
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
思考：菱形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
由于菱形是平行四边形，因此
O
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于直线DB的轴对称），点A的像是______， 点C的像是_____， 点D的像是_____，点B的像是_____，边AD的像是_____，边CD的像是_____， 边AB的像是_____，边CB的像是_____.
点C
点A
边CD
点B
点D
边AD
边CB
边AB
想一想：你能得到什么结论？
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴
1.作为一个特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质.如下表：
归纳总结
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称 对边相等 对角相等 互相平分
菱形的特殊性质 轴对称 四边相等 互相垂直
2．菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．
3．菱形的性质定理1　菱形的四条边相等．
菱形的性质定理2　菱形的对角线互相垂直．
合作探究
范例2：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．
解：在菱形ABCD中，
∵∠B＋∠BAD＝180°，∠BAD＝2∠B，
∴3∠B＝180°，
∴∠B＝60°.
在菱形ABCD中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
范例3：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
菱形的定义及性质
边
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
随堂检测
2.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
3.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．
作业布置
完成对应课时练习

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