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华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.1　矩形
18.1.2 矩形的判定
第1课时　矩形的判定
【学习目标】
1．让学生理解并掌握矩形的判定方法．
2．让学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
【学习重点】矩形的判定定理．
【学习难点】定理的证明及运用．
新课导入
【旧知回顾】
1．什么是平行四边形？什么是矩形？
答：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．矩形有哪些特殊性质？
答：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
答：矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质，但平行四边形不具备矩形的一些特殊性质．
探究新知
知识模块一　矩形的判定
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
思考
1.如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
案例分析
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.
A
B
D
C
H
E
F
G
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四边形ADCE为矩形．
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
练一练
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
练一练
已知：在平行四边形ABCD中，AC＝DB，
求证：四边形ABCD是矩形．
方法指导：平行四边形的邻角互补，同时三角形全等，邻角相等．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC，
∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
又∵AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
||
=
归纳总结
定义：有一个角是直角的平行四边形，要具备2个条件．
矩形判定定理1：三个角是直角的四边形，要具备1个条件．
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形，要具备2个条件.
合作探究
范例1：在△ABC中，D为BC边上任意一点，DE∥ AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件____________时，四边形AEDF是矩形.
分析：当把图形作出来时，发现形成了平行四边形，要使该平行四边形是矩形，根据定义可知∠BAC＝90°.
∠BAC＝90°
范例2：在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连结BE，CF.若DE＝BC，试判断四边形BFCE的形状，并证明你的结论．
解：四边形BFCE是矩形．
理由：∵CE∥BF，∴∠CED＝∠BFD.
∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△BDF和△CDE中，
∵∠BFD＝∠CED，∠BDF＝∠CDE，BD＝DC，
∴△BDF≌△CDE，∴DE＝DF.
∵BD＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形，∴DE＝EF.
∵DE＝BC，∴BC＝EF，∴四边形BFCE是矩形．
知识模块二　矩形的性质与判定的综合运用
范例3：如图，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E.
(1)求证：DA⊥AE；
(2)试判断AB与DE是否相等，并说明理由．
证明：(1)∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF，
∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝90°，∴DA⊥AE；
(2)AB＝DE.
理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，
∵BE⊥AE，DA⊥AE，
∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE.
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为
什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
交流讨论
1.如图，在 □ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
练一练
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，
OB=OD=BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
　
A　
B　
C　
D　
O
2.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
随堂检测
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ）
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，
∴平行四边形NDMB为矩形．
3.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且相等于BD.
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
作业布置
完成对应课时练习

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