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华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2　菱形
18.2.2　菱形的判定
第1课时　菱形的判定定理1
【学习目标】
1．让学生理解并掌握菱形的定义判定法及判定定理1.
2．让学生学会用这两个判定方法进行有关的论证和计算．
【学习重点】
菱形的定义判定法及判定定理1.
【学习难点】
用这两个判定方法进行有关的论证和计算．
新课导入
【旧知回顾】
1.菱形的定义是什么？
答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2.菱形有哪些特殊性质？
答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．
3.运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
答：两个：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
探究新知
知识模块一　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
定义证法：
A
B
C
D
∵ ABCD，BA＝BC，
∴ ABCD是菱形(或四边形ABCD是菱形)．
几何语言
思考 还有其他的判定方法吗？
合作探究
范例1：如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是 (　　)
A．平行四边形但不是菱形　　
B．矩形
C．菱形
D．无法确定
C
分析：由矩形的对角线相等且互相平分得到OA＝OD，再由两组对边分别平行可得四边形OAED是平行四边形，所以 AODE是菱形．
范例2：如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连结DE.
求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．
证明：(1)∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD.
∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠CBE；
(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.
∵∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB，∴CE＝BD.
∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．
∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．
知识模块二　四条边都相等的四边形是菱形
类比矩形的判定定理，有两个是由矩形的性质的逆命题通过猜想证明得到的，那么对于菱形可以吗？可以尝试一下．“菱形的四条边都相等”的逆命题是“四条边都相等的四边形是菱形”．这个命题成立吗？
证一证
如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝DA，
即AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
此法也可以证明菱形的尺规作图方法
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
归纳总结
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
合作探究
范例3：如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由．
解：四边形EFGH是菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵点E，F，G，H分别是四条边的中点，
∴AE＝BE＝CG＝DG，AH＝BF＝CF＝DH，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
下列命题中正确的是 （ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
2
例1 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
A
C
B
E
D
F
1
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
==10cm
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴△AEF≌△CGH，
∴EF=GH，
同理可得FG=EH，
∴AF=GH， CG=AE
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
请补充完整的证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
A
C
D
B
E
F
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
判定定理1：四边都相等的四边形是菱形.
菱形的判定
课堂小结
随堂检测
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC时，AC=CE，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，连接ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（　　）
A．AB=AD B．AB=ED
C．CD=AE D．EC=AD
B
3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.
∵在△AEO和△AFO中
∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF,
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，AE=AF.
∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵AE=AF，∴平行四边形AEDF为菱形．
4.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线
交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
A
F
D
B
O
E
C
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
作业布置
完成对应课时练习

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