资源简介

(共27张PPT)
华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.2　菱形
18.2.2　菱形的判定
第2课时　菱形的判定定理2
【学习目标】
1．让学生理解并掌握菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2．让学生学会用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理．
3．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
【学习重点】菱形的判定定理2.
【学习难点】用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理．
新课导入
【旧知回顾】
1．菱形有哪些特殊性质？
答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．
2．我们已学过菱形的哪些判定方法？内容是什么？
答：定义法和判定定理1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
探究新知
知识模块一　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
作一条两条对角线互相垂直的平行四边形.
步骤:
(1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为0;
(2)以点0为圆心、适当长为半径作弧，在直线m上截取相等的两条线段 OA、OC;
(3)以点0为圆心、另一适当长为半径作弧，
在直线n上截取相等的两条线段 OB、OD;
(4)顺次连结所得的四个点.
n
m
D
C
B
A
思考：所画平行四边形是菱形吗？
O
试一试
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证一证
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD.
∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
A
B
C
O
D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
平行四边形的判定定理2：
归纳总结
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形.
合作探究
范例1：已知：如图， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥FC，∴∠1＝∠2.
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，
∴EO＝FO.∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
练一练
知识模块二　菱形性质与判定的综合运用
范例2：如图， ABCD，E，F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°.
B
A
C
D
E
F
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长．
分析：由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，可得到∠BAC＝∠DCA，由A.S.A.证明△ABF≌△CDE，得出BF＝DE，∠AFB＝∠CED，可得到BF∥DE，结论得证；连结BD交AC于点G，可证四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，再证出四边形BEDF是菱形，得出BE＝BF＝6，由勾股定理求出AF，由三角形
面积关系求出BG，再由勾股定理求
出EG，于是可以求出结果．
B
A
C
D
E
F
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA.
在△ABF和△CDE中，
∵∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
B
A
C
D
E
F
(2)连结BD交AC于点G.∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BF＝6，EG＝FG.
∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6，
∴AF＝＝10.
∵S△ABF＝AF·BG＝AB·BF，∴BG＝＝，
∴EG＝＝，
∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝.
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
练一练
(1)证明：∵DE∥BC，且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为42=8.
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
课堂小结
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
随堂检测
2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 .
312cm2
A
B
C
D
O
E
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
A
D
O
E
M
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
作业布置
完成对应课时练习

展开更多......

收起↑