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华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.3　正方形
【学习目标】
1．让学生掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．让学生理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
【学习重点】
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
【学习难点】
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
新课导入
【旧知回顾】
1．矩形、菱形的特殊性质分别是什么？
答：矩形：四个角都是直角，对角线相等；菱形：四条边都相等，对角线互相垂直.
2．矩形、菱形的判定定理分别是什么？
探究新知
知识模块一　平行四边形的性质与判定
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么
发现？
正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
归纳总结
1．正方形是特殊的矩形，菱形，所以正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．如图虚线所示．它们分别是：对边中点所在的直线和对角线所在的直线．
2．正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．
合作探究
范例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于F，则∠BFC的度数为
(　　)
A．45°　　　　B．55°　　　　
C．60°　　　　D．75°
C
分析：观察发现∠BFC＝∠AFE，∠AFE在△AEF中，而∠CAD＝45°，∠DAE＝60°，AE与AB构成等腰三角形，所以可以求出∠AEF的度数，从而求出结果．(或求出∠ABF的度数，直接利用三角形的外角也可求出)
范例2：如图，已知正方形ABCD，求∠ABD，∠DAC，∠DOC的大小．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠AOB＝∠COB＝∠COD＝90°，
∴∠ABD＝×90°＝45°.
同理：∠DAC＝45°.
∴∠COD＝90°，∠ABD＝45°，∠DAC＝45°.
1. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
练一练
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
2.四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
3.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
4.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
知识模块二　正方形的判定
做一做：用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形．对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．那么如何判断一个四边形是正方形呢？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
练一练
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO .
∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
练一练
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
归纳总结
正方形的判定定理1　有一个角是直角的菱形是正方形．
正方形的判定定理2　有一组邻边相等的矩形是正方形．
小结
合作探究
范例3：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A，C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB，DN分别交l2于Q，P点．求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP.即可证出MN＝NP.从而得出结论．
证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，
∴PN∥QM，∠PNM＝90°.
∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∴∠1＋∠2＝90°.
又∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴△ABM≌△DAN.
∴AM＝DN.
同理：AN＝DP，∴AM＋AN＝DN＋DP，
即MN＝PN，∴四边形PQMN是正方形．
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
练一练
2.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴矩形EDFC是正方形.
A
B
C
D
E
F
G
3.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴菱形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
4.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，
∵BE=AF，∴四边形AFBE为平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴平行四边形AFBE是正方形．
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
课堂小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
B
随堂检测
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
D
3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（只填写序号）．
②③或①④
7.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
=2
∴正方形的周长为4AD＝8， 面积为AD2＝8.
作业布置
完成对应课时练习

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