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华师版 八年级 数学（下）
第18章 矩形、菱形与正方形
18.1　矩形
18．1.1矩形的性质
第1课时　矩形的定义及性质
【学习目标】
1．让学生掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．让学生学会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题，渗透运动联系、从量变到质变的观点．
【学习重点】矩形的性质．
【学习难点】矩形的性质的灵活应用．
新课导入
【旧知回顾】
1．平行四边形的性质是什么？
答：平行四边形的对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分．
2．用四根木条作的平行四边形有稳定性吗？
答：这样的平行四边形不具备稳定性．
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
长方形
知识模块一　矩形的定义
探究新知
(1)转动过程中的变化：角的大小变了，但不管如何，它仍然是一个平行四边形.
(2)保持平行四边形的原因：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
于是有矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(通常也叫长方形)．
平行四边形不一定是矩形.
当移动到一个角是直角时停止，这时是什么图形？
归纳总结
合作探究
范例1：如图中的四边形均为矩形，则一共有____个矩形．根据图形，写出一个正确的等式________________________．
6
am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)
范例2：已知矩形的两邻边之比为3∶4，若矩形的周长为70 cm，则矩形的面积为____cm2.
分析：矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的两组对边分别相等，于是可以设两邻边分别为3x cm、4x cm，根据题意求出长、宽即可．
300
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
知识模块二　矩形的性质
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
A
B
C
D
O
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
范例3：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA＝OB，又∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8(cm).
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
归纳总结
1.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O, ∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
典例精析
矩形的对角线相等且互相平分
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，OA= OC=AC,OB = OD =BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
2.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD, DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,.
∴∠DFE=∠C=90°,∴DF=DC.
思考：矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此
O
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
归纳总结
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称 对边相等 对角相等 互相平分
矩形的特殊性质 轴对称 四个角都是直角 相等
1．矩形作为一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊的性质．
2.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线；所以有：
矩形的性质定理1　矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理2　矩形的对角线相等．
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
练一练
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_____.
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
矩形的相关概念及性质
四个内角都是直角，对边相等
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
课堂小结
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
A
C
随堂检测
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
(提示：三角形中，两边中点所连线段的长是第三边长的一半)
4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD=BE,
(2)若∠DBC=30°, BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(提示：直角三角形中，30°角所对边的长等于斜边的一半)
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD, AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
A
B
C
D
O
E
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD=BD=×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC===4
∴四边形ABED的面积×(4+8)×4=2.
A
B
C
D
O
E
5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
=S矩形ABCD=×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴AO·PE+DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=.
作业布置
完成对应课时练习

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