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华师版 八年级 数学（下）
第17章 平行四边形
17.1　平行四边形的性质
第17章复习与小结
【学习目标】
1．让学生掌握平行四边形的性质与判定定理．
2．让学生综合运用平行四边形的性质与判定灵活地进行计算与推理证明．
【学习重点】平行四边形的性质与判定定理．
【学习难点】会运用平行四边形的性质与判定灵活地进行计算与推理证明．
新课导入
知识结构图：
自学互研
知识模块一　平行四边形的性质与判定
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
一、平行四边形的性质
对角线互
相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
平行四边形是
中心对称图形.
A
B
C
D
O
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵ AD=BC ，AB=DC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵ AB=DC，AB∥DC.
二、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=OC，OB=OD.
两组对边分别平行（定义）
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵ AD∥BC ，AB∥DC.
平行线之间的距离处处相等
A
B
C
D
O
范例1：如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
分析：根据条件可以得到AD＝BC，这样只需找到一个条件即可证明两个三角形全等，由条件可以证明∠B＝∠DAE，问题得以解决；在第2问中，可以得到△ABE是等边三角形，问题得以解决．
解：(1)在 ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE.
∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠DAE.
在△ABC和△EAD中，
∵BC＝AD，∠B＝∠DAE，AB＝EA，
∴△ABC≌△EAD.
(2)∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠DAE.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB.
由(1)知：∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°.
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝60°＋25°＝85°.
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
范例2：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连结BE并延长，交DC于点F.
求证：(1)△ABE≌△CFE；
(2)四边形ABFD是平行四边形．
分析：根据等边三角形的性质得到∠DCA＝60°，通过等量代换得到∠DCA＝∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；由已知条件得到△ABE是等边三角形，可以推出△CEF是等边三角形，于是可证∠CFE＝∠CDA，
得到BF∥AD，结论可证．
证明：(1)∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA＝60°.
∵∠BAC＝60°，∴∠DCA＝∠BAC.
在△ABE和△CFE中，
∵∠DCA＝∠BAC，AE＝CE，∠BEA＝∠FEC，
∴△ABE≌△CFE；
(2)∵E是AC的中点，∠ABC＝90°，∴BE＝EA.
∵∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE＝60°.
∵△ACD是等边三角形，∠CDA＝∠DCA＝60°，
∴∠CFE＝∠CDA，∴BF∥AD.
∵∠DCA＝∠BAC＝60°，
∴AB∥DC，∴四边形ABFD是平行四边形．
1. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
D
针对训练
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D
AB＝CD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∠EAB＝∠FCD
∵AD=BC ∴AF=EC．
3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD==4cm．
A
【解析】
∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=59(cm)．
4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
B
5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC
D．AB=CD，AO=CO
D
平行四边形的判定方法
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
归纳总结
6.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF；
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
知识模块二　平行四边形的性质与判定的综合运用
范例3：已知，如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F分别是BO，DO的中点，连结AF，CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如果点E，F分别在DB和BD的延长
线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
分析：根据平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，再由条件可推出OE＝OF，结论可证；由等式的性质可得OE＝OF，再由条件AO＝CO可得出结论
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵点E，F分别是BO，DO的中点，
∴OE＝OF.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)结论仍然成立．理由：∵BE＝DF，BO＝DO，∴OE＝OF.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
1.如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
练一练
2.如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（　）
A．BD＜2
B．BD=2
C．BD＞2
D．以上情况均有可能
A
解析：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB.
∵∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
∵AE=CD，∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选A．
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判定
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平 行 四 边 形
课堂小结
作业布置
完成对应课时练习

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